làm hiups mình

Câu 7: Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\), ta cần xác định tọa độ của các điểm \(B\) và \(C\) trên đồ thị hàm số \(y = 2e^{-x^2}\). Giả sử \(B(x, y)\) và \(C(-x, y)\) là hai điểm trên đồ thị, khi đó \(y = 2e^{-x^2}\). Diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) là: \[ S = 2x \cdot y = 2x \cdot 2e^{-x^2} = 4x e^{-x^2} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \(S\), ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S(x) = 4x e^{-x^2}\). Tính đạo hàm của \(S(x)\): \[ S'(x) = \frac{d}{dx}(4x e^{-x^2}) = 4(e^{-x^2} + x \cdot (-2x) e^{-x^2}) = 4e^{-x^2}(1 - 2x^2) \] Đặt \(S'(x) = 0\), ta có: \[ 4e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0 \] Vì \(e^{-x^2} \neq 0\) với mọi \(x\), nên: \[ 1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta cần kiểm tra dấu của \(S'(x)\) để xác định điểm cực đại. Xét dấu của \(S'(x)\) trên các khoảng: - Khi \(x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(S'(x) > 0\). - Khi \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(S'(x) < 0\). - Khi \(x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(S'(x) > 0\). Vậy \(S(x)\) đạt cực đại tại \(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\). Tính giá trị lớn nhất của \(S(x)\): \[ S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 2\sqrt{2} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \] Tính giá trị này: \[ S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \] Sử dụng giá trị gần đúng của \(e \approx 2.718\), ta có: \[ \sqrt{e} \approx 1.6487 \] Do đó: \[ S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx \frac{2\sqrt{2}}{1.6487} \approx 1.715 \] Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) là khoảng \(1.72\) (làm tròn đến hàng phần trăm).