giải giúp tui mọi người

Câu 1. a. Tìm tọa độ trung điểm các cạnh và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. - Trung điểm của đoạn thẳng AB: \[ M_{AB} = \left( \frac{-2 + 3}{2}, \frac{5 - 2}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \] - Trung điểm của đoạn thẳng BC: \[ M_{BC} = \left( \frac{3 + 4}{2}, \frac{-2 - 5}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{7}{2} \right) \] - Trung điểm của đoạn thẳng CA: \[ M_{CA} = \left( \frac{4 - 2}{2}, \frac{-5 + 5}{2} \right) = (1, 0) \] - Trọng tâm của tam giác ABC: \[ G = \left( \frac{-2 + 3 + 4}{3}, \frac{5 - 2 - 5}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, -\frac{2}{3} \right) \] b. Tính $\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}$ và tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{BA}+5\overrightarrow{AC}.$ - Vector $\overrightarrow{BA}$: \[ \overrightarrow{BA} = (-2 - 3, 5 + 2) = (-5, 7) \] - Vector $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = (4 + 2, -5 - 5) = (6, -10) \] - Vector $\overrightarrow{MC}$: \[ \overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{BA} + 5\overrightarrow{AC} = -2(-5, 7) + 5(6, -10) = (10, -14) + (30, -50) = (40, -64) \] - Tọa độ điểm M: \[ M = C - \overrightarrow{MC} = (4, -5) - (40, -64) = (-36, 59) \] c. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. - Trong hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (4 - 3, -5 + 2) = (1, -3) \] \[ \overrightarrow{AD} = (x_D + 2, y_D - 5) \] \[ (x_D + 2, y_D - 5) = (1, -3) \] \[ x_D + 2 = 1 \Rightarrow x_D = -1 \] \[ y_D - 5 = -3 \Rightarrow y_D = 2 \] Tọa độ điểm D là $(-1, 2)$. d. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}.$ - Tích vô hướng $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (1, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (6, -10) \] \[ \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC} = 1 \cdot 6 + (-3) \cdot (-10) = 6 + 30 = 36 \] - Tích vô hướng $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}$: \[ \overrightarrow{BA} = (-5, 7) \] \[ \overrightarrow{CB} = (-1, 3) \] \[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB} = (-5) \cdot (-1) + 7 \cdot 3 = 5 + 21 = 26 \] e. Tính số đo các góc của tam giác ABC. - Số đo góc BAC: \[ \cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{AC}|} \] \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + (-10)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} \] \[ \cos(\angle BAC) = \frac{36}{\sqrt{74} \cdot \sqrt{136}} \approx 0.424 \] \[ \angle BAC \approx \cos^{-1}(0.424) \approx 65^\circ \] - Số đo góc ABC: \[ \cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{CB}|} \] \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] \[ \cos(\angle ABC) = \frac{26}{\sqrt{74} \cdot \sqrt{10}} \approx 0.949 \] \[ \angle ABC \approx \cos^{-1}(0.949) \approx 18^\circ \] - Số đo góc ACB: \[ \angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) \approx 180^\circ - (65^\circ + 18^\circ) = 97^\circ \] Đáp số: a. Trung điểm các cạnh: $M_{AB} = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$, $M_{BC} = \left( \frac{7}{2}, -\frac{7}{2} \right)$, $M_{CA} = (1, 0)$; Trọng tâm: $G = \left( \frac{5}{3}, -\frac{2}{3} \right)$ b. $\overrightarrow{BA} = (-5, 7)$, $\overrightarrow{AC} = (6, -10)$, $M = (-36, 59)$ c. $D = (-1, 2)$ d. $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC} = 36$, $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB} = 26$ e. $\angle BAC \approx 65^\circ$, $\angle ABC \approx 18^\circ$, $\angle ACB \approx 97^\circ$ Câu 2. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) rồi so sánh chúng. Vectơ \(AB\) có tọa độ: \[ AB = (-1 - 2, 4 + 3) = (-3, 7) \] Vectơ \(AC\) có tọa độ: \[ AC = (2m - 2 - 2, 3m - 5 + 3) = (2m - 4, 3m - 2) \] Để hai vectơ này cùng phương, ta có: \[ \frac{-3}{2m - 4} = \frac{7}{3m - 2} \] Từ đây, ta có phương trình: \[ -3(3m - 2) = 7(2m - 4) \] \[ -9m + 6 = 14m - 28 \] \[ -9m - 14m = -28 - 6 \] \[ -23m = -34 \] \[ m = \frac{34}{23} \] Vậy giá trị của \(m\) để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng là: \[ m = \frac{34}{23} \]