Giúp mik đi mà

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề theo công thức tính tích phân cơ bản. Công thức tính tích phân cơ bản: \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \(\int_b^a f(x) \, dx = F(b) - F(a)\) Theo công thức tính tích phân cơ bản, ta có: \[ \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx = -(F(b) - F(a)) = F(a) - F(b) \] Vậy mệnh đề A sai vì nó không đúng với công thức tính tích phân cơ bản. B. \(\int_b^a f(x) \, dx = 1\) Mệnh đề này không phải là một khẳng định chung về tính chất của tích phân, mà chỉ là một trường hợp cụ thể. Do đó, không thể xác định nó là đúng hay sai mà không biết thêm thông tin về hàm số \(f(x)\). Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của câu hỏi này, chúng ta không có thông tin cụ thể để xác nhận hoặc phủ nhận mệnh đề này. C. \(\int_b^a f(x) \, dx = 0\) Mệnh đề này cũng không phải là một khẳng định chung về tính chất của tích phân, mà chỉ là một trường hợp cụ thể. Do đó, không thể xác định nó là đúng hay sai mà không biết thêm thông tin về hàm số \(f(x)\). Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của câu hỏi này, chúng ta không có thông tin cụ thể để xác nhận hoặc phủ nhận mệnh đề này. D. \(\int_b^a f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\) Theo công thức tính tích phân cơ bản, ta có: \[ \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx \] Do đó, mệnh đề D đúng vì nó đúng với công thức tính tích phân cơ bản. Từ những phân tích trên, chúng ta thấy rằng mệnh đề A là mệnh đề sai. Đáp án: A. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa đạo hàm, nguyên hàm và tích phân. - Nguyên hàm: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, thì $F'(x) = f(x)$. - Tích phân: Tích phân xác định của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ là $F(b) - F(a)$, trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $f(b) - f(a) = \int f'(x) dx$ - Đây là sai vì $\int f'(x) dx$ là nguyên hàm của $f'(x)$, tức là $f(x) + C$, không phải là $f(b) - f(a)$. B. $F(b) - F(a) = \int f(x) dx$ - Đây là đúng vì theo định lý Newton-Leibniz, tích phân xác định của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ là $F(b) - F(a)$, trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. C. $f(b) - f(a) = \int F(x) dx$ - Đây là sai vì $\int F(x) dx$ là nguyên hàm của $F(x)$, không phải là $f(b) - f(a)$. D. $f'(b) - f(a) = \int f'(x) dx$ - Đây là sai vì $\int f'(x) dx$ là nguyên hàm của $f'(x)$, tức là $f(x) + C$, không phải là $f'(b) - f(a)$. Vậy, mệnh đề đúng là: B. $F(b) - F(a) = \int f(x) dx$ Đáp án: B. Câu 4. Để tính tích phân $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cos t$. Nguyên hàm của $\cos t$ là $\sin t$. Do đó: \[ \int \cos t \, dt = \sin t + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt = \left[ \sin t \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm. \[ \left[ \sin t \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \] Bước 4: Tính giá trị của các hàm sin tại các điểm này. \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \] \[ \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1 \] Bước 5: Thực hiện phép trừ. \[ 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] Vậy tích phân $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \, dt$ có giá trị là 2. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 5. Để tính tích phân $\int_e^a \frac{1}{t} dt$ với $a > e$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên bản của $\frac{1}{t}$. Hàm nguyên bản của $\frac{1}{t}$ là $\ln |t|$. Vì $t > 0$ trong khoảng từ $e$ đến $a$, nên ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ \int \frac{1}{t} dt = \ln t + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int_e^a \frac{1}{t} dt = \left[ \ln t \right]_e^a \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức. \[ \left[ \ln t \right]_e^a = \ln a - \ln e \] Bước 4: Biến đổi biểu thức. \[ \ln a - \ln e = \ln a - 1 \] Vậy tích phân $\int_e^a \frac{1}{t} dt$ với $a > e$ là $\ln a - 1$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\ln a - 1$. Câu 6. Để tính $\int_1^3[f(x)+2x]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int_1^3[f(x)+2x]dx = \int_1^3f(x)dx + \int_1^32x\,dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int_1^3f(x)dx = 2 \] Bây giờ, ta cần tính $\int_1^32x\,dx$. Ta có: \[ \int_1^32x\,dx = 2\int_1^3x\,dx \] Tính tích phân $\int_1^3x\,dx$: \[ \int_1^3x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Do đó: \[ 2\int_1^3x\,dx = 2 \times 4 = 8 \] Vậy: \[ \int_1^3[f(x)+2x]dx = 2 + 8 = 10 \] Đáp án đúng là: D. 10. Câu 7. Để tính diện tích hình thang OABC giới hạn bởi các đường thẳng \( y = 3x + 1 \), trục Ox, \( x = 0 \) và \( x = 1 \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là \( x = 0 \) - Cận trên là \( x = 1 \) Bước 2: Viết biểu thức tích phân. \[ \int_{0}^{1} (3x + 1) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \int_{0}^{1} (3x + 1) \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} \] Bước 4: Thay cận vào biểu thức đã tích phân. \[ \left[ \frac{3(1)^2}{2} + 1 \right] - \left[ \frac{3(0)^2}{2} + 0 \right] = \left[ \frac{3}{2} + 1 \right] - [0] = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \] Vậy diện tích hình thang OABC là: \[ \int_{0}^{1} (3x + 1) \, dx = \frac{5}{2} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{5}{2}$ Câu 8. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tính các tích phân tổng hợp từ các tích phân đã biết. A. Tính $\int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \, dx$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{-2}^2 f(x) \, dx + \int_{-2}^2 g(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \, dx = 1 + 3 = 4 \] B. Tính $\int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \, dx$ Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-2}^2 f(x) \, dx - \int_{-2}^2 g(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \, dx = 1 - 3 = -2 \] Như vậy, cả hai mệnh đề đều sai vì: - Mệnh đề A: $\int_{-2}^2 [f(x) + g(x)] \, dx = 4$, không phải 8. - Mệnh đề B: $\int_{-2}^2 [f(x) - g(x)] \, dx = -2$, không phải 4. Do đó, cả hai mệnh đề đều sai.