Giúp mình với! Cho đường tròn (O; R), BC là dây cố định, sđ cung BC = 120 độ. Điểm A di động trên cung lớn BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC, ta sẽ áp dụng các kiến thức về hình học và bất đẳng thức. 1. Xác định các yếu tố đã biết: - Đường tròn (O; R) với bán kính R. - Dây cố định BC với số đo cung BC là 120 độ. - Điểm A di động trên cung lớn BC. 2. Tính diện tích tam giác ABC: Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h \] Trong đó, BC là độ dài dây cung cố định, và h là khoảng cách từ điểm A đến dây BC. 3. Xác định độ dài dây cung BC: Độ dài dây cung BC có thể được tính bằng công thức: \[ BC = 2R \sin \left( \frac{\text{sđ cung BC}}{2} \right) \] Với sđ cung BC = 120 độ, ta có: \[ BC = 2R \sin \left( \frac{120^\circ}{2} \right) = 2R \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} \] 4. Xác định khoảng cách từ điểm A đến dây BC: Khi điểm A di chuyển trên cung lớn BC, khoảng cách từ A đến dây BC sẽ thay đổi. Để diện tích tam giác ABC lớn nhất, khoảng cách này cần lớn nhất. Khi điểm A nằm ở vị trí sao cho tam giác OAB là tam giác đều (vì sđ cung BC = 120 độ), khoảng cách từ A đến dây BC sẽ lớn nhất. 5. Tính diện tích lớn nhất của tam giác ABC: Khi điểm A nằm ở vị trí sao cho tam giác OAB là tam giác đều, khoảng cách từ A đến dây BC là: \[ h = R \cos 30^\circ = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, diện tích lớn nhất của tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times R\sqrt{3} \times R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times R\sqrt{3} \times \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3R^2}{2} = \frac{3R^2}{4} \] Kết luận: Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là $\frac{3R^2}{4}$, đạt được khi điểm A nằm ở vị trí sao cho tam giác OAB là tam giác đều.