Giúp mình với!

a)

• Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB và AC.
• Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
• BD = BE
• CD = CF
• AE = AF
• Ta có: AB = AE + BE và AC = AF + CF
• Suy ra: AB + AC = AE + BE + AF + CF = AF + BD + AF + CD = 2AF + BD + CD
• Mà BD + CD = BC, nên AB + AC = 2AF + BC
• Lại có AE = AF nên 2AF = 2AE = AB + AC - BC.
• Do BD = BE = AB - AE = AB - (AB + AC - BC)/2 = (2AB - AB - AC + BC)/2 = (AB - AC + BC)/2
• Vậy BD = (BC + AB - AC) / 2 (điều phải chứng minh).

b)

• Diện tích tam giác ABC :SABC = (1/2) x AB x AC
• Ta cũng có thể tính diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích các tam giác ABI, BCI và CAI. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I), ta có:
• SABI = (1/2) xABx r
• SBCI = (1/2) xBC x r
• SCAI = (1/2) x AC x r
• Vậy SABC = (1/2) x r x (AB + BC + AC)
• Từ câu a), ta có BD = (BC + AB - AC) / 2 => 2BD = BC + AB - AC.
• Ta cũng có CD = BC - BD.
• Ta cần chứng minh (1/2) * AB x AC = BD x DC hay AB x AC = 2BD x DC
• Ta có 2BD = BC + AB - AC và 2CD = 2BC - 2BD = 2BC - (BC + AB - AC) = BC - AB + AC.
• Do đó 2BD x 2CD = (BC + AB - AC)(BC - AB + AC) = BC² - (AB - AC)² = BC² - (AB² + AC² - 2AB.AC)
• Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có BC² = AB² + AC².
• Suy ra 2BD x 2CD = AB² + AC² - (AB² + AC² - 2AB.AC) = 2AB.AC
• Vậy BD.DC = (1/2)AB.AC = SABC(điều phải chứng minh).