Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp liên quan đến phương trình bậc hai và các hệ thức Viète. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng bài toán: Bài toán 167: Cho phương trình $x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 2 = 0$. Tìm $m$ để hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $3x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 7 = 0$. Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 2m + 1 \] \[ x_1x_2 = m^2 + 2 \] Bước 2: Thay vào điều kiện: \[ 3(m^2 + 2) - 5(2m + 1) + 7 = 0 \] \[ 3m^2 + 6 - 10m - 5 + 7 = 0 \] \[ 3m^2 - 10m + 8 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6} = \frac{10 \pm 2}{6} \] \[ m = 2 \text{ hoặc } m = \frac{4}{3} \] Bài toán 168: Cho phương trình $x^2 + 3x + m - 2 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 6$. Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = -3 \] \[ x_1x_2 = m - 2 \] Bước 2: Thay vào điều kiện: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] \[ 6 = (-3)^2 - 2(m - 2) \] \[ 6 = 9 - 2m + 4 \] \[ 2m = 7 \] \[ m = \frac{7}{2} \] Bài toán 169: Cho phương trình $(m + 3)x^2 + 2mx + m - 3 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 = 4$. Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = -\frac{2m}{m + 3} \] \[ x_1x_2 = \frac{m - 3}{m + 3} \] Bước 2: Thay vào điều kiện: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] \[ 4 = \left(-\frac{2m}{m + 3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m - 3}{m + 3} \] \[ 4 = \frac{4m^2}{(m + 3)^2} - \frac{2(m - 3)}{m + 3} \] \[ 4 = \frac{4m^2 - 2(m - 3)(m + 3)}{(m + 3)^2} \] \[ 4 = \frac{4m^2 - 2(m^2 - 9)}{(m + 3)^2} \] \[ 4 = \frac{4m^2 - 2m^2 + 18}{(m + 3)^2} \] \[ 4 = \frac{2m^2 + 18}{(m + 3)^2} \] \[ 4(m + 3)^2 = 2m^2 + 18 \] \[ 4(m^2 + 6m + 9) = 2m^2 + 18 \] \[ 4m^2 + 24m + 36 = 2m^2 + 18 \] \[ 2m^2 + 24m + 18 = 0 \] \[ m^2 + 12m + 9 = 0 \] \[ m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 36}}{2} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{3}}{2} = -6 \pm 3\sqrt{3} \] Bài toán 170: Cho phương trình $x^2 - mx + 1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5x_1x_2$. Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = m \] \[ x_1x_2 = 1 \] Bước 2: Thay vào điều kiện: \[ x_1^2 + x_2^2 = 5x_1x_2 \] \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5x_1x_2 \] \[ m^2 - 2 = 5 \] \[ m^2 = 7 \] \[ m = \pm \sqrt{7} \] Bài toán 171: Cho phương trình $x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0$. a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tính $A = 2(x_1^2 + x_2^2) - 5x_1x_2$ và tìm $m$ để $A = 27$. Bước 1: Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = (2m)^2 - 4(2m - 1) = 4m^2 - 8m + 4 = 4(m - 1)^2 \] \[ \Delta > 0 \text{ khi } m \neq 1 \] Bước 2: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 2m \] \[ x_1x_2 = 2m - 1 \] Bước 3: Tính $A$: \[ A = 2(x_1^2 + x_2^2) - 5x_1x_2 \] \[ A = 2((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) - 5x_1x_2 \] \[ A = 2(4m^2 - 2(2m - 1)) - 5(2m - 1) \] \[ A = 2(4m^2 - 4m + 2) - 10m + 5 \] \[ A = 8m^2 - 8m + 4 - 10m + 5 \] \[ A = 8m^2 - 18m + 9 \] Bước 4: Tìm $m$ để $A = 27$: \[ 8m^2 - 18m + 9 = 27 \] \[ 8m^2 - 18m - 18 = 0 \] \[ 4m^2 - 9m - 9 = 0 \] \[ m = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8} = \frac{9 \pm 15}{8} \] \[ m = 3 \text{ hoặc } m = -\frac{3}{4} \] Bài toán 172: Cho phương trình $x^2 - 4x + m = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ là hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền $\sqrt{10}$. Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1x_2 = m \] Bước 2: Áp dụng định lý Pythagoras: \[ x_1^2 + x_2^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \] \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10 \] \[ 16 - 2m = 10 \] \[ 2m = 6 \] \[ m = 3 \] Bài toán 173: Cho phương trình $x^2 - (2n)x + n = 0$. Tìm $n$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt là cạnh của tam giác vuông có đường cao bằng $\sqrt{5}$. Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 2n \] \[ x_1x_2 = n \] Bước 2: Áp dụng công thức đường cao trong tam giác vuông: \[ \frac{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}} = \sqrt{5} \] \[ \frac{n}{\sqrt{4n^2 - 2n}} = \sqrt{5} \] \[ n = \sqrt{5}(2n^2 - n) \] \[ n = 2n^2\sqrt{5} - n\sqrt{5} \] \[ 2n^2\sqrt{5} - n\sqrt{5} - n = 0 \] \[ n(2n\sqrt{5} - \sqrt{5} - 1) = 0 \] \[ n = 0 \text{ hoặc } 2n\sqrt{5} - \sqrt{5} - 1 = 0 \] \[ n = \frac{\sqrt{5} + 1}{2\sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} \] Kết luận: - Bài toán 167: $m = 2$ hoặc $m = \frac{4}{3}$ - Bài toán 168: $m = \frac{7}{2}$ - Bài toán 169: $m = -6 + 3\sqrt{3}$ hoặc $m = -6 - 3\sqrt{3}$ - Bài toán 170: $m = \sqrt{7}$ hoặc $m = -\sqrt{7}$ - Bài toán 171: $m = 3$ hoặc $m = -\frac{3}{4}$ - Bài toán 172: $m = 3$ - Bài toán 173: $n = 0$ hoặc $n = \frac{5 + \sqrt{5}}{10}$