Cho đường tròn ( I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với AB tại D chứng minh rằng ABC vuông cân tại C và chỉ khi CA.CB=2DA.DB

Để chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân tại C và chỉ khi CA.CB=2DA.DB, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) và đường tròn này tiếp xúc với AB tại D. 2. Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại C: - Vì đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, nên các điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh của tam giác tạo thành các đoạn thẳng bằng nhau. - Gọi các điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh AC, BC lần lượt là E và F. - Ta có: AD = AE, BD = BF, CE = CF. - Do đó, tam giác ABC sẽ là tam giác cân nếu AC = BC và vuông tại C nếu góc ACB = 90°. 3. Chứng minh CA.CB = 2DA.DB: - Ta có: CA = CE + EA = CE + AD. - CB = CF + FB = CF + BD. - Vì CE = CF, nên ta có: $$ - Nhân hai vế: $$ - Ta biết rằng trong tam giác vuông cân, các đoạn thẳng từ đỉnh vuông đến các điểm tiếp xúc bằng nhau, tức là CE = CF và AD = BD. - Do đó: $$ - Vì tam giác ABC vuông cân tại C, nên CE = AD = BD. Ta có: $$ - Mặt khác, ta cũng có: $$ - Vậy: $$ 4. Kết luận: - Tam giác ABC vuông cân tại C và chỉ khi CA.CB = 2DA.DB. Do đó, ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC vuông cân tại C và chỉ khi CA.CB = 2DA.DB.