Cho phương trình x bình phương - 3 x - 1 = 0 có 2 nghiệm x1 x2 không giải phương trình Hãy tính p bằng (x1-3 )/x1^2 - x1/x2^2

Question

Accepted Answer

Phương trình $ x^2 - 3x - 1 = 0 $ có hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $.

Theo định lý Viète:
$$ x_1 + x_2 = 3 $$
$$ x_1 \cdot x_2 = -1 $$

Ta cần tính $ P = \frac{x_1 - 3}{x_1^2} - \frac{x_1}{x_2^2} $.

Bước 1: Tính $ x_1^2 $ và $ x_2^2 $:
$$ x_1^2 = 3x_1 + 1 $$
$$ x_2^2 = 3x_2 + 1 $$

Bước 2: Thay vào biểu thức $ P $:
$$ P = \frac{x_1 - 3}{3x_1 + 1} - \frac{x_1}{3x_2 + 1} $$

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với $ x_2 $ để có thể sử dụng $ x_1 \cdot x_2 = -1 $:
$$ P = \frac{(x_1 - 3)x_2}{(3x_1 + 1)x_2} - \frac{x_1 \cdot x_2}{(3x_2 + 1)x_2} $$
$$ P = \frac{x_1 x_2 - 3x_2}{3x_1 x_2 + x_2} - \frac{-1}{3x_2 + 1} $$
$$ P = \frac{-1 - 3x_2}{-3 + x_2} - \frac{-1}{3x_2 + 1} $$

Bước 4: Tính tiếp:
$$ P = \frac{-1 - 3x_2}{-3 + x_2} + \frac{1}{3x_2 + 1} $$

Bước 5: Quy đồng mẫu số:
$$ P = \frac{(-1 - 3x_2)(3x_2 + 1) + (-3 + x_2)}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$

Bước 6: Nhân và rút gọn:
$$ P = \frac{-3x_2 - 1 - 9x_2^2 - 3x_2 + (-3 + x_2)}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$
$$ P = \frac{-9x_2^2 - 5x_2 - 4}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$

Bước 7: Thay $ x_2^2 = 3x_2 + 1 $:
$$ P = \frac{-9(3x_2 + 1) - 5x_2 - 4}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$
$$ P = \frac{-27x_2 - 9 - 5x_2 - 4}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$
$$ P = \frac{-32x_2 - 13}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$

Bước 8: Kết luận:
$$ P = \frac{-32x_2 - 13}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $$

Đáp số: $ P = \frac{-32x_2 - 13}{(-3 + x_2)(3x_2 + 1)} $