Helppppppppp Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta dự định xây dựng một cây cầu EF bắc qua,sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một,khoảng là 7km (hình vẽ).,,Biết $HE+KF=24km$ và độ dài EF không đổi. Cần xây cây cầu cách thành phố B bao nhì,kilômét để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB)? Làm trẻ,kết quả đến hàng đơn vị.

Question

Helppppppppp Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta dự định xây dựng một cây cầu EF bắc qua,sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một,khoảng là 7km (hình vẽ).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/fd4a8d8c4b6e41869e76918004df0844.jpg />,Biết $HE+KF=24km$ và độ dài EF không đổi. Cần xây cây cầu cách thành phố B bao nhì,kilômét để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB)? Làm trẻ,kết quả đến hàng đơn vị.

mizukibui · Accepted Answer

Đặt $HE = x \Rightarrow KF = 24 - x$. Ta có $AE = \sqrt{25+x^2}, BF = \sqrt{49 + (24-x)^2}$

Quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là $S = AE + EF + BF$.

Vì EF có độ dài không đổi nên quãng đường S ngắn nhất khi và chỉ khi $AE + BF$ nhỏ nhất.

Xét $AE + BF = \sqrt{25+x^2} + \sqrt{49 + (24-x)^2}$.

Đặt $\vec{u} = (5, x), \vec{v} = (7, 24-x)$. Ta có

$|\vec{u}| + |\vec{v}| \ge |\vec{u} + \vec{v}| \Rightarrow \sqrt{25+x^2} + \sqrt{49 + (24-x)^2} \ge \sqrt{(5+7)^2 + (x+24-x)^2} = 12\sqrt{5}.$

Vậy $S = AE + EF + BF$ ngắn nhất bằng $12\sqrt{5} + EF$

Dấu "=" xảy ra khi $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow 7x = 5(24-x) \Leftrightarrow x = 10 \Rightarrow KF = 14$

$\Rightarrow BF = 7\sqrt{5} (km)\approx 15 ( km)$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi hình học và tính toán khoảng cách tối ưu.

1. Xác định các điểm và khoảng cách:
   - Thành phố A cách con sông một khoảng là 5 km.
   - Thành phố B cách con sông một khoảng là 7 km.
   - Độ dài EF không đổi và HE + KF = 24 km.

2. Biến đổi hình học:
   - Gọi H là điểm trên con sông thẳng đứng từ thành phố A xuống.
   - Gọi K là điểm trên con sông thẳng đứng từ thành phố B xuống.
   - Gọi E là điểm trên con sông thẳng đứng từ thành phố A xuống.
   - Gọi F là điểm trên con sông thẳng đứng từ thành phố B xuống.

3. Tìm khoảng cách tối ưu:
   - Ta cần tìm điểm F sao cho tổng khoảng cách từ A đến B qua E và F là ngắn nhất.
   - Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ điểm B qua con sông.

4. Phản xạ điểm B qua con sông:
   - Gọi B&#x27; là điểm phản xạ của B qua con sông.
   - Khoảng cách từ B đến con sông là 7 km, nên B&#x27; sẽ nằm ở phía bên kia con sông, cách con sông 7 km nữa.

5. Tính khoảng cách từ A đến B&#x27;:
   - Khoảng cách từ A đến con sông là 5 km.
   - Khoảng cách từ B&#x27; đến con sông là 7 km.
   - Tổng khoảng cách từ A đến B&#x27; là:
     $$
     AB&#x27; = \sqrt{(AE + EB&#x27;)^2 + (AH + HB&#x27;)^2}
     $$
   - Vì HE + KF = 24 km, nên ta có:
     $$
     AE + EB&#x27; = 24 \text{ km}
     $$
   - Khoảng cách từ A đến B&#x27; là:
     $$
     AB&#x27; = \sqrt{24^2 + (5 + 7)^2} = \sqrt{24^2 + 12^2} = \sqrt{576 + 144} = \sqrt{720} = 26.83 \text{ km}
     $$

6. Tìm điểm F:
   - Điểm F sẽ nằm trên đoạn thẳng từ A đến B&#x27;, sao cho tổng khoảng cách từ A đến B qua E và F là ngắn nhất.
   - Ta có:
     $$
     AF + FB = AB&#x27;
     $$
   - Vì EF không đổi, nên ta cần tìm điểm F sao cho tổng khoảng cách từ A đến B qua E và F là ngắn nhất.

7. Kết luận:
   - Điểm F sẽ nằm trên đoạn thẳng từ A đến B&#x27;, sao cho tổng khoảng cách từ A đến B qua E và F là ngắn nhất.
   - Ta có:
     $$
     AF + FB = 26.83 \text{ km}
     $$
   - Vì HE + KF = 24 km, nên ta có:
     $$
     AF = 13.415 \text{ km}
     $$
   - Khoảng cách từ B đến F là:
     $$
     BF = 26.83 - 13.415 = 13.415 \text{ km}
     $$

8. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:
   - Khoảng cách từ B đến F là:
     $$
     BF = 13 \text{ km}
     $$

Vậy cần xây cây cầu cách thành phố B khoảng 13 km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất.