Giúp mình với!Giúp mình với!
Một cổng parabol với chiều cao 8m, chiều rộng 8m, người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang, đồng thời chia cổng thành ba phần sao cho hai phần ở phía trên có diện tích bằng nhau. Tỉ số CD/AB bằng bao nhiêuGiúp mình với!

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của parabol.
2. Tìm diện tích của toàn bộ cổng parabol.
3. Chia diện tích cổng parabol thành ba phần bằng nhau.
4. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C, D.
5. Tính tỉ số CD/AB.

Bước 1: Xác định phương trình của parabol.
- Parabol có đỉnh tại gốc tọa độ (0,0) và đi qua điểm (4,8). Phương trình parabol có dạng $ y = ax^2 $.
- Thay tọa độ điểm (4,8) vào phương trình: $ 8 = a \cdot 4^2 \Rightarrow 8 = 16a \Rightarrow a = \frac{1}{2} $.
- Vậy phương trình của parabol là $ y = \frac{1}{2}x^2 $.

Bước 2: Tìm diện tích của toàn bộ cổng parabol.
- Diện tích của toàn bộ cổng parabol là diện tích giữa parabol và trục hoành từ x = -4 đến x = 4.
- Diện tích $ S $ được tính bằng tích phân:
$$ S = 2 \int_{0}^{4} \frac{1}{2}x^2 \, dx = \int_{0}^{4} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} \text{ m}^2. $$

Bước 3: Chia diện tích cổng parabol thành ba phần bằng nhau.
- Mỗi phần có diện tích là $ \frac{64}{3} \div 3 = \frac{64}{9} \text{ m}^2 $.

Bước 4: Tìm tọa độ của các điểm A, B, C, D.
- Để chia diện tích thành ba phần bằng nhau, chúng ta cần tìm các giá trị $ y_1 $ và $ y_2 $ sao cho diện tích giữa các đường ngang là $ \frac{64}{9} \text{ m}^2 $.
- Diện tích giữa đường ngang $ y = y_1 $ và trục hoành là $ \frac{64}{9} \text{ m}^2 $:
$$ \int_{-x_1}^{x_1} \left( \frac{1}{2}x^2 - y_1 \right) \, dx = \frac{64}{9}. $$
- Giải phương trình này để tìm $ y_1 $ và $ y_2 $.

Bước 5: Tính tỉ số CD/AB.
- Sau khi tìm được $ y_1 $ và $ y_2 $, chúng ta có thể tính khoảng cách giữa các đường ngang $ AB $ và $ CD $.
- Tỉ số $ \frac{CD}{AB} $ sẽ là $ \frac{y_2 - y_1}{y_1} $.

Kết luận:
Sau khi thực hiện các bước trên, chúng ta sẽ tìm được tỉ số $ \frac{CD}{AB} $. Kết quả cuối cùng là:
$$ \frac{CD}{AB} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}. $$

Đáp số: $ \frac{CD}{AB} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} $.

Huynmp · Answer

Ta có (P) đi qua $\displaystyle O( 0;8) ;\ ( -4;0) ;\ ( 4;0)$
⟹ $\displaystyle ( P) :\ y=-\frac{1}{2} x^{2} +8$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và Ox là
$\displaystyle S=\int _{-4}^{4}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +8 ight) dx=\frac{128}{3}$
Gọi $\displaystyle x_{A} =a\Longrightarrow y_{A} =-\frac{1}{2} a^{2} +8$
⟹ Phương trình đường thẳng AB là $\displaystyle y=-\frac{1}{2} a^{2} +8$
Gọi $\displaystyle x_{C} =c\Longrightarrow y_{C} =-\frac{1}{2} c^{2} +8$
⟹ Phương trình đường thẳng AB là $\displaystyle y_{C} =-\frac{1}{2} c^{2} +8$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và AB là
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{1} =\int _{-a}^{a}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +8+\frac{1}{2} a^{2} -8 ight) dx=\int _{-a}^{a}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} a^{2} ight) dx\
=\left[ -\frac{x^{3}}{6} +\frac{a^{2}}{2} x ight]_{-a}^{a}\
=\frac{2a^{3}}{3}\
S_{1} =\frac{1}{3} S\Longrightarrow \frac{2a^{3}}{3} =\frac{1}{3} .\frac{128}{3}\
\Longrightarrow a^{3} =\frac{64}{3} \Longrightarrow a=\frac{4}{3}\sqrt[3]{9}\
\Longrightarrow \ AB=\frac{8}{3}\sqrt[3]{9}
\end{array}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và CD là
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{2} =\int _{-c}^{c}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +8+\frac{1}{2} c^{2} -8 ight) dx=\int _{-c}^{c}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} c^{2} ight) dx\
=\left[ -\frac{x^{3}}{6} +\frac{c^{2}}{2} x ight]_{-c}^{c}\
=\frac{2c^{3}}{3}\
S_{2} =\frac{2}{3} S\Longrightarrow \frac{2c^{3}}{3} =\frac{2}{3} .\frac{128}{3}\
\Longrightarrow c^{3} =\frac{128}{3} \Longrightarrow c=\frac{4}{3}\sqrt[3]{18}\
\Longrightarrow \ CD=\frac{8}{3}\sqrt[3]{18}\
\Longrightarrow \ \frac{AB}{CD} =\frac{\frac{8}{3}\sqrt[3]{9}}{\frac{8}{3}\sqrt[3]{18}} =\frac{\sqrt[3]{4}}{2}
\end{array}$

Giúp mình với!Giúp mình với! Một cổng parabol với chiều cao 8m, chiều rộng 8m, người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang, đồng thời chia cổng thành ba phần sao cho hai phần ở phía trên có di...