Một cồng có dạng hình parabol với chiều cao 8m, chiều rộng chân đế 8m (Hình parabol úp). Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang, đồng thời chia cổng thành ba phần sao cho hai phần ở phía trên có diện tích bằng nhau. Tỉ số CD/AB bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Question

muathuytinh · Accepted Answer

Ta có (P) đi qua $\displaystyle O( 0;8) ;\ ( -4;0) ;\ ( 4;0)$
⟹ $\displaystyle ( P) :\ y=-\frac{1}{2} x^{2} +8$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và Ox là
$\displaystyle S=\int _{-4}^{4}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +8 ight) dx=\frac{128}{3}$
Gọi $\displaystyle x_{A} =a\Longrightarrow y_{A} =-\frac{1}{2} a^{2} +8$
⟹ Phương trình đường thẳng AB là $\displaystyle y=-\frac{1}{2} a^{2} +8$
Gọi $\displaystyle x_{C} =c\Longrightarrow y_{C} =-\frac{1}{2} c^{2} +8$
⟹ Phương trình đường thẳng AB là $\displaystyle y_{C} =-\frac{1}{2} c^{2} +8$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và AB là
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{1} =\int _{-a}^{a}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +8+\frac{1}{2} a^{2} -8 ight) dx=\int _{-a}^{a}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} a^{2} ight) dx\
=\left[ -\frac{x^{3}}{6} +\frac{a^{2}}{2} x ight]_{-a}^{a}\
=\frac{2a^{3}}{3}\
S_{1} =\frac{1}{3} S\Longrightarrow \frac{2a^{3}}{3} =\frac{1}{3} .\frac{128}{3}\
\Longrightarrow a^{3} =\frac{64}{3} \Longrightarrow a=\frac{4}{3}\sqrt[3]{9}\
\Longrightarrow \ AB=\frac{8}{3}\sqrt[3]{9}
\end{array}$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và CD là
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{2} =\int _{-c}^{c}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +8+\frac{1}{2} c^{2} -8 ight) dx=\int _{-c}^{c}\left( -\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} c^{2} ight) dx\
=\left[ -\frac{x^{3}}{6} +\frac{c^{2}}{2} x ight]_{-c}^{c}\
=\frac{2c^{3}}{3}\
S_{2} =\frac{2}{3} S\Longrightarrow \frac{2c^{3}}{3} =\frac{2}{3} .\frac{128}{3}\
\Longrightarrow c^{3} =\frac{128}{3} \Longrightarrow c=\frac{4}{3}\sqrt[3]{18}\
\Longrightarrow \ CD=\frac{8}{3}\sqrt[3]{18}\
\Longrightarrow \ \frac{AB}{CD} =\frac{\frac{8}{3}\sqrt[3]{9}}{\frac{8}{3}\sqrt[3]{18}} =\frac{\sqrt[3]{4}}{2} \approx 0,79
\end{array}$

Một cồng có dạng hình parabol với chiều cao 8m, chiều rộng chân đế 8m (Hình parabol úp). Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang, đồng thời chia cổng thành ba phần sao cho hai phần ở phía...