2) Cho tam giác nhọn ABC (AB

Question

2) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), với các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. 
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. 
b) Đường cao CF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên EF và 1 là trực tâm tam giác AEF. Chứng minh BN BE = BF.BA và tứ giác EHFI là hình bình hành. 
c) Gọi M là trung điểm của DK. Chứng minh AM đi qua trung điểm của EF.

Reena Chan · Accepted Answer

Câu a)

- Vì $ AD, BE, CF $ là ba đường cao đồng quy tại $ H $, nên:
$$
\angle AEB = 90^\circ, \quad \angle AFB = 90^\circ
$$
(Vì $ BE $ và $ CF $ là đường cao, nên $ BE \perp AC $ và $ CF \perp AB $).

- Ta có:
$$
\angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
$$
- Tứ giác $ AEHF $ nội tiếp (theo tính chất tổng hai góc đối bằng $ 180^\circ $).

Câu b)
- Vì $ N $ là giao điểm thứ hai của $ CF $ với đường tròn $ (O) $, nên $ AN $ là một đường kính của đường tròn $ (O) $, tức là $ \angle ANB = 90^\circ $.
- Áp dụng định lý về đường tròn, ta có:
$$
BN \cdot BE = BF \cdot BA
$$
- Ta có $ BE \perp AC $ và $ CF \perp AB $, nên $ H $ là trực tâm của $ \triangle ABC $.
- $ I $ là trực tâm của $ \triangle AEF $, nên $ EI \perp AF $ và $ FI \perp AE $.
- $ EH \parallel FI $ và $ EF $ là cạnh chung.

Vậy $ EHFI $ là hình bình hành (do có hai cặp cạnh đối song song).

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AB) và $\widehat{AFH}=\widehat{ACB}$ (hai góc vuông có cạnh bên chung AF cùng vuông góc với BC). Do đó $\widehat{AEF}=\widehat{AFH}$ nên tứ giác AEHF nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung AH).

b) Ta có $\widehat{CBN}=\widehat{CAF}$ (cùng chắn cung CN) và $\widehat{BCN}=\widehat{BAF}$ (cùng chắn cung BN). Do đó $\Delta CBN \sim \Delta CAF$ (góc-góc). Từ đó ta có $\frac{CN}{CF}=\frac{BC}{AC}$ hay $CN \cdot AC=CF \cdot BC$. Mặt khác, ta có $\widehat{CFA}=\widehat{CBA}$ (cùng chắn cung CA) và $\widehat{BCF}=\widehat{BAC}$ (cùng chắn cung BA). Do đó $\Delta CFB \sim \Delta CAB$ (góc-góc). Từ đó ta có $\frac{CF}{CA}=\frac{BF}{BA}$ hay $CF \cdot BA=BF \cdot CA$. Kết hợp hai kết quả trên ta có $CN \cdot AC=CF \cdot BC=BF \cdot CA$. Suy ra $CN=BF$. Do đó $BN=CN-CB=BF-BC=CF$. Từ đó ta có $BN \cdot BE=CF \cdot BE=BF \cdot BA$ (vì $\Delta CFB \sim \Delta CAB$).

Ta có $\widehat{EIH}=\widehat{EFH}=90^\circ$ (góc vuông) và $\widehat{FIH}=\widehat{FEH}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó tứ giác EHFI nội tiếp. Mặt khác, ta có $\widehat{HEF}=\widehat{HFE}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó tứ giác EHFI là hình bình hành (tứ giác nội tiếp có hai góc kề bằng 90 độ).

c) Ta có $\widehat{AKD}=\widehat{AFE}$ (góc giữa đường thẳng và đường kính) và $\widehat{AKF}=\widehat{AEF}$ (góc giữa đường thẳng và đường kính). Do đó $\Delta AKD \sim \Delta AFE$ (góc-góc). Từ đó ta có $\frac{AD}{AE}=\frac{AK}{AF}$. Mặt khác, ta có $\widehat{DAK}=\widehat{EAF}$ (góc giữa đường thẳng và đường kính). Do đó $\Delta DAK \sim \Delta EAF$ (góc-góc). Từ đó ta có $\frac{DK}{EF}=\frac{AK}{AF}$. Kết hợp hai kết quả trên ta có $\frac{AD}{AE}=\frac{DK}{EF}$. Suy ra $\frac{AD}{DK}=\frac{AE}{EF}$. Mặt khác, ta có $\widehat{ADE}=\widehat{AFE}$ (góc giữa đường thẳng và đường kính). Do đó $\Delta ADE \sim \Delta AFE$ (góc-góc). Từ đó ta có $\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AF}$. Kết hợp với kết quả trên ta có $\frac{AD}{DK}=\frac{AE}{EF}=\frac{AD}{AE}$. Suy ra $\frac{AD}{DK}=\frac{AD}{AE}$. Suy ra $DK=AE$. Do đó M là trung điểm của DK và EF. Vậy AM đi qua trung điểm của EF.

Kem pơ · Answer

2) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), với các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. b) Đường cao CF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N,...