Từ 16 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4học khá, 7 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 4 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và...

Để tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh Số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh là: \[ \frac{\binom{16}{4} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4}}{4!} \] Bước 2: Tính số cách chia sao cho mỗi nhóm đều có ít nhất 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá Bước 2.1: Chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho mỗi nhóm - Số cách chọn 1 học sinh giỏi từ 5 học sinh giỏi cho nhóm đầu tiên là $\binom{5}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh khá từ 4 học sinh khá cho nhóm đầu tiên là $\binom{4}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh giỏi từ 4 học sinh giỏi còn lại cho nhóm thứ hai là $\binom{4}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh khá từ 3 học sinh khá còn lại cho nhóm thứ hai là $\binom{3}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh giỏi từ 3 học sinh giỏi còn lại cho nhóm thứ ba là $\binom{3}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh khá từ 2 học sinh khá còn lại cho nhóm thứ ba là $\binom{2}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh giỏi từ 2 học sinh giỏi còn lại cho nhóm thứ tư là $\binom{2}{1}$ - Số cách chọn 1 học sinh khá từ 1 học sinh khá còn lại cho nhóm thứ tư là $\binom{1}{1}$ Tổng số cách chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho mỗi nhóm là: \[ \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} \] Bước 2.2: Chia 10 học sinh còn lại vào 4 nhóm Số cách chia 10 học sinh còn lại vào 4 nhóm, mỗi nhóm 3 học sinh là: \[ \frac{\binom{10}{3} \times \binom{7}{3} \times \binom{4}{3} \times \binom{1}{1}}{4!} \] Bước 3: Tính xác suất Xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá là: \[ P = \frac{\text{Số cách chia sao cho mỗi nhóm đều có ít nhất 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá}}{\text{Tổng số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh}} \] Bước 4: Thực hiện các phép tính \[ \text{Tổng số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh} = \frac{\binom{16}{4} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4}}{4!} \] \[ = \frac{1820 \times 495 \times 70 \times 1}{24} = 1401400 \] \[ \text{Số cách chia sao cho mỗi nhóm đều có ít nhất 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá} = \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} \times \frac{\binom{10}{3} \times \binom{7}{3} \times \binom{4}{3} \times \binom{1}{1}}{4!} \] \[ = 5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times \frac{120 \times 35 \times 4 \times 1}{24} = 120 \times 120 \times 140 = 2016000 \] \[ P = \frac{2016000}{1401400} \approx 1.439 \] Do đó, xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá là khoảng 1.439 hoặc 143.9%. Kết luận Xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá là khoảng 143.9%.