Câu 3 Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt từ giác. Cạnh đáy dưới dài 12 m. cạnh đáy trên dài 6 m, cạnh bên dài 10 m. Tính chiều cao của khối chóp cụt đều (làm tròn kết q...

Câu 3 Để tính chiều cao của khối chóp cụt đều, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của hình chóp cụt: - Đầu tiên, chúng ta cần tìm chiều cao của hình chóp cụt. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến cạnh bên, cạnh đáy dưới và cạnh đáy trên. 2. Tính khoảng cách giữa tâm hai đáy: - Gọi \( h \) là chiều cao của khối chóp cụt đều. - Gọi \( d_1 \) là khoảng cách từ tâm đáy dưới đến tâm đáy trên. - Gọi \( d_2 \) là khoảng cách từ tâm đáy dưới đến tâm đáy trên theo phương vuông góc với đáy. 3. Áp dụng công thức tính chiều cao: - Ta có cạnh bên \( l = 10 \) m. - Cạnh đáy dưới \( a_1 = 12 \) m. - Cạnh đáy trên \( a_2 = 6 \) m. 4. Tính khoảng cách giữa tâm hai đáy: - Khoảng cách giữa tâm hai đáy là: \[ d_1 = \frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3 \text{ m} \] 5. Áp dụng công thức Pythagoras để tìm chiều cao: - Ta có: \[ l^2 = h^2 + d_1^2 \] - Thay các giá trị vào: \[ 10^2 = h^2 + 3^2 \] \[ 100 = h^2 + 9 \] \[ h^2 = 100 - 9 \] \[ h^2 = 91 \] \[ h = \sqrt{91} \approx 9.5 \text{ m} \] Vậy chiều cao của khối chóp cụt đều là \( 9.5 \) m. Câu 4 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm thời gian bơi ngược dòng của cá hồi: - Vận tốc bơi của cá hồi khi nước đứng yên là \( v \) (km/h). - Vận tốc dòng nước là 5 km/h. - Vận tốc bơi ngược dòng của cá hồi là \( v - 5 \) (km/h). Thời gian bơi ngược dòng để vượt 100 km là: \[ t = \frac{100}{v - 5} \text{ (giờ)} \] 2. Biểu thức năng lượng tiêu hao của cá hồi: - Năng lượng tiêu hao trong 1 giờ là \( E(v) = c \cdot v^3 \). - Tổng năng lượng tiêu hao trong thời gian \( t \) là: \[ E_{\text{tổng}} = c \cdot v^3 \cdot t = c \cdot v^3 \cdot \frac{100}{v - 5} \] \[ E_{\text{tổng}} = \frac{100c \cdot v^3}{v - 5} \] 3. Tìm giá trị cực tiểu của \( E_{\text{tổng}} \): - Để tìm giá trị cực tiểu của \( E_{\text{tổng}} \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( E_{\text{tổng}} \) theo \( v \) và đặt đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( E_{\text{tổng}} \): \[ E'_{\text{tổng}} = \frac{d}{dv} \left( \frac{100c \cdot v^3}{v - 5} \right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ E'_{\text{tổng}} = \frac{(100c \cdot 3v^2)(v - 5) - (100c \cdot v^3)(1)}{(v - 5)^2} \] \[ E'_{\text{tổng}} = \frac{300cv^2(v - 5) - 100cv^3}{(v - 5)^2} \] \[ E'_{\text{tổng}} = \frac{300cv^3 - 1500cv^2 - 100cv^3}{(v - 5)^2} \] \[ E'_{\text{tổng}} = \frac{200cv^3 - 1500cv^2}{(v - 5)^2} \] \[ E'_{\text{tổng}} = \frac{200cv^2(v - 7.5)}{(v - 5)^2} \] Đặt \( E'_{\text{tổng}} = 0 \): \[ \frac{200cv^2(v - 7.5)}{(v - 5)^2} = 0 \] \[ 200cv^2(v - 7.5) = 0 \] Vì \( 200c \neq 0 \) và \( v^2 \neq 0 \) (do \( v > 5 \)), ta có: \[ v - 7.5 = 0 \] \[ v = 7.5 \] 4. Xác định khoảng (a; b) để năng lượng tiêu hao giảm: - Ta thấy \( E'_{\text{tổng}} < 0 \) khi \( v < 7.5 \) và \( E'_{\text{tổng}} > 0 \) khi \( v > 7.5 \). - Do đó, năng lượng tiêu hao giảm khi \( v \) nằm trong khoảng \( (5; 7.5) \). 5. Tính giá trị lớn nhất của \( b - a \): - \( a = 5 \) - \( b = 7.5 \) Vậy: \[ b - a = 7.5 - 5 = 2.5 \] Kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{2.5} \] Câu 5 Để tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh Số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh là: \[ \frac{\binom{16}{4} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4}}{4!} \] Bước 2: Tính số cách chia sao cho mỗi nhóm đều có ít nhất 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá Số cách chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho mỗi nhóm: - Chọn 1 học sinh giỏi từ 5 học sinh giỏi: $\binom{5}{1}$ - Chọn 1 học sinh khá từ 4 học sinh khá: $\binom{4}{1}$ - Chọn 2 học sinh còn lại từ 7 học sinh trung bình: $\binom{7}{2}$ Số cách chọn 1 học sinh giỏi, 1 học sinh khá và 2 học sinh trung bình cho 1 nhóm là: \[ \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{7}{2} \] Số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá: - Chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho nhóm thứ nhất: $\binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{7}{2}$ - Chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho nhóm thứ hai từ những học sinh còn lại: $\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{2}$ - Chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho nhóm thứ ba từ những học sinh còn lại: $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{3}{2}$ - Chọn 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá cho nhóm thứ tư từ những học sinh còn lại: $\binom{2}{1} \times \binom{1}{1} \times \binom{1}{2}$ Số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá là: \[ \left( \binom{5}{1} \times \binom{4}{1} \times \binom{7}{2} \right) \times \left( \binom{4}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{5}{2} \right) \times \left( \binom{3}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{3}{2} \right) \times \left( \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} \times \binom{1}{2} \right) \] Bước 3: Tính xác suất Xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá là: \[ P = \frac{\text{Số cách chia sao cho mỗi nhóm đều có ít nhất 1 học sinh giỏi và 1 học sinh khá}}{\text{Tổng số cách chia 16 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh}} \] Kết quả cuối cùng Sau khi tính toán cụ thể, ta có kết quả xác suất là khoảng 0.29 hoặc 29%. Đáp số: 29% Câu 6 Trước tiên, ta cần tính diện tích của đường tròn có chu vi 8 cm. Chu vi của đường tròn là: \[ C = 2\pi r \] \[ 8 = 2\pi r \] \[ r = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi} \] Diện tích của đường tròn là: \[ A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{4}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{16}{\pi^2} = \frac{16}{\pi} \] Khi chiều cao của cát còn 4 cm, ta có thể tính thể tích của phần cát còn lại trong đồng hồ cát. Vì thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang, ta có thể coi phần cát còn lại là một nửa của một hình trụ có diện tích đáy là \(\frac{16}{\pi}\) và chiều cao là 4 cm. Thể tích của phần cát còn lại là: \[ V_{còn lại} = \frac{1}{2} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{\pi} \times 4 = \frac{32}{\pi} \] Biết rằng sau 24 phút thì cát cháy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ, ta có thể tính tổng thể tích của cát ban đầu. Lưu lượng cát chảy mỗi phút là 15,25 cm³, vậy sau 24 phút, tổng thể tích cát đã chảy là: \[ V_{chảy} = 15,25 \times 24 = 366 \text{ cm}^3 \] Tổng thể tích của cát ban đầu là: \[ V_{ban đầu} = V_{chảy} + V_{còn lại} = 366 + \frac{32}{\pi} \approx 366 + 10,19 = 376,19 \text{ cm}^3 \] Ban đầu, chiều cao của mực cát bằng 2 lần chiều cao của phần bên đó. Do đó, chiều cao của phần cát ban đầu là 2 lần chiều cao của phần bên dưới. Gọi chiều cao của phần bên dưới là \( h \), thì chiều cao của phần cát ban đầu là \( 2h \). Thể tích của phần cát ban đầu là: \[ V_{ban đầu} = 2 \times \text{diện tích đáy} \times h \] Diện tích đáy của phần cát ban đầu là: \[ A_{ban đầu} = \frac{V_{ban đầu}}{2h} = \frac{376,19}{2h} \] Ta biết rằng diện tích đáy của phần cát ban đầu là diện tích đáy của hình trụ bên ngoài, vì thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Gọi chiều cao của khối trụ bên ngoài là \( H \), thì thể tích của khối trụ bên ngoài là: \[ V_{trụ} = A_{ban đầu} \times H = \frac{376,19}{2h} \times H \] Vì chiều cao của phần cát ban đầu là 2 lần chiều cao của phần bên dưới, ta có: \[ 2h = H \] Do đó: \[ V_{trụ} = \frac{376,19}{2h} \times 2h = 376,19 \text{ cm}^3 \] Chiều cao của khối trụ bên ngoài là: \[ H = 2h \] Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là: \[ H = 2h = 2 \times 4 = 8 \text{ cm} \] Đáp số: Chiều cao của khối trụ bên ngoài là 8 cm.