Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt...

Trước tiên, ta cần xác định diện tích đáy của phần cát ban đầu và phần cát đã chảy xuống. 1. Diện tích đáy của phần cát ban đầu: - Chiều cao ban đầu của mực cát là $\frac{2}{3}$ chiều cao của phần bên đó. - Khi chiều cao của cát còn 4 cm, bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi 8π cm. - Bán kính của đường tròn này là: \[ r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4 \text{ cm} \] - Diện tích đáy của phần cát khi chiều cao còn 4 cm là: \[ S_1 = \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2 \] 2. Diện tích đáy của phần cát ban đầu: - Vì thiết diện thẳng đứng qua trục của đồng hồ là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang, nên diện tích đáy của phần cát ban đầu sẽ là diện tích đáy của phần cát khi chiều cao còn 4 cm nhân với $\left(\frac{3}{2}\right)^2$ (do chiều cao ban đầu là $\frac{2}{3}$ chiều cao của phần bên đó): \[ S_0 = 16\pi \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 16\pi \times \frac{9}{4} = 36\pi \text{ cm}^2 \] 3. Thể tích của phần cát ban đầu: - Chiều cao ban đầu của mực cát là $\frac{2}{3}$ chiều cao của phần bên đó, do đó thể tích của phần cát ban đầu là: \[ V_0 = S_0 \times \frac{2}{3}H = 36\pi \times \frac{2}{3}H = 24\pi H \text{ cm}^3 \] 4. Thể tích của phần cát đã chảy xuống: - Sau 24 phút, cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ với lưu lượng 15,25 cm³/phút: \[ V_{\text{chảy}} = 15,25 \times 24 = 366 \text{ cm}^3 \] 5. Thể tích của phần cát còn lại: - Thể tích của phần cát còn lại khi chiều cao còn 4 cm là: \[ V_{\text{còn lại}} = S_1 \times 4 = 16\pi \times 4 = 64\pi \text{ cm}^3 \] 6. Tổng thể tích của phần cát ban đầu: - Tổng thể tích của phần cát ban đầu là: \[ V_0 = V_{\text{chảy}} + V_{\text{còn lại}} \] \[ 24\pi H = 366 + 64\pi \] 7. Giải phương trình để tìm chiều cao H: - Chuyển 64π sang vế trái: \[ 24\pi H - 64\pi = 366 \] \[ 24\pi (H - \frac{64}{24}) = 366 \] \[ 24\pi (H - \frac{8}{3}) = 366 \] \[ H - \frac{8}{3} = \frac{366}{24\pi} \] \[ H - \frac{8}{3} = \frac{366}{24 \times 3,14} \approx \frac{366}{75,36} \approx 4,85 \] \[ H \approx 4,85 + \frac{8}{3} \approx 4,85 + 2,67 \approx 7,52 \] Vậy chiều cao của khối trụ bên ngoài là khoảng 7,5 cm (làm tròn đến hàng phần chục). Đáp số: 7,5 cm.