3x^2-12x-5=0 có 2 nghiệm x1,x2.không giải phưng trình hãy tính giá trị của biểu thức T=x1^2+4x2-x1x2/4x1+x2^2+x1x2

Question

Thiên Bănghg1 · Accepted Answer

Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
3x^{2} -12x-5=0\
\Longrightarrow x^{2} -4x=\frac{5}{3}\
\Longrightarrow \begin{cases}
x_{1}^{2} -4x_{1} =\frac{5}{3} & \
x_{2}^{2} -4x_{2} =\frac{5}{3} &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
x_{1}^{2} =4x_{1} +\frac{5}{3} & \
x_{2}^{2} =4x_{2} +\frac{5}{3} &
\end{cases}
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle \Delta '=( -6)^{2} -3.( -5) =36+15=51 >0$
$\displaystyle \Longrightarrow $Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo Viet ta có: $\displaystyle \begin{cases}
x_{1} +x_{2} =\frac{12}{3} =4 & \
x_{1} x_{2} =\frac{-5}{3} &
\end{cases}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
T=\frac{x_{1}^{2} +4x_{2} -x_{1} x_{2}}{4x_{1} +x_{2}^{2} +x_{1} x_{2}} =\frac{4x_{1} +\frac{5}{3} +4x_{2} -x_{1} x_{2}}{4x_{1} +4x_{2} +\frac{5}{3} +x_{1} x_{2}}\
=\frac{4( x_{1} +x_{2}) -x_{1} x_{2} +\frac{5}{3}}{4( x_{1} +x_{2}) +x_{1} x_{2} +\frac{5}{3}} =\frac{4.4-\left(\frac{-5}{3} ight) +\frac{5}{3}}{4.4+\left(\frac{-5}{3} ight) +\frac{5}{3}}\
=\frac{16+\frac{10}{3}}{16} =\frac{29}{24}
\end{array}$

Timi · Answer

Để tính giá trị của biểu thức $ T = \frac{x_1^2 + 4x_2 - x_1x_2}{4x_1 + x_2^2 + x_1x_2} $ mà không cần giải phương trình, ta sẽ sử dụng các hệ số của phương trình bậc hai $ 3x^2 - 12x - 5 = 0 $.

Theo định lý Vi-et:
- Tổng của hai nghiệm $ x_1 + x_2 = \frac{-(-12)}{3} = 4 $
- Tích của hai nghiệm $ x_1 \cdot x_2 = \frac{-5}{3} $
Bây giờ, ta sẽ biến đổi biểu thức $ T $:
$$ T = \frac{x_1^2 + 4x_2 - x_1x_2}{4x_1 + x_2^2 + x_1x_2} $$
Ta sẽ nhân tử chung ở tử số và mẫu số để dễ dàng thay thế các giá trị đã biết:
$$ T = \frac{x_1(x_1 + 4) - x_1x_2}{4x_1 + x_2(x_2 + x_1)} $$
Thay $ x_1 + x_2 = 4 $ vào biểu thức:
$$ T = \frac{x_1(4) - x_1x_2}{4x_1 + x_2(4)} $$
$$ T = \frac{4x_1 - x_1x_2}{4x_1 + 4x_2} $$
$$ T = \frac{4x_1 - x_1x_2}{4(x_1 + x_2)} $$
$$ T = \frac{4x_1 - x_1x_2}{4 \cdot 4} $$
$$ T = \frac{4x_1 - x_1x_2}{16} $$
$$ T = \frac{4x_1 - \left( \frac{-5}{3} \right)}{16} $$
$$ T = \frac{4x_1 + \frac{5}{3}}{16} $$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.