Giảiiiiiiiiu Câu 2: Chào đón năm mới 2025, Thành phố trang trí đèn led cho biểu tượng,hình chữ V được ghép từ các thanh $AB=4~m,~AC=5~m$ sao cho tam giác,,ABC vuông tại B. Để tăng hiệu ứng, các kỳ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy,từ B xuống A với vận tốc 4 m/phút và một chuỗi,led chạy từ A lên C với vận tốc 10 m/phút. Sau khi,đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất,phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng,nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu,tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất? 16

Question

Giảiiiiiiiiu Câu 2: Chào đón năm mới 2025, Thành phố trang trí đèn led cho biểu tượng,hình chữ V được ghép từ các thanh $AB=4~m,~AC=5~m$ sao cho tam giác,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/4968463aa63d446f8c45ecf615b17935.jpg />,ABC vuông tại B. Để tăng hiệu ứng, các kỳ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy,từ B xuống A với vận tốc 4 m/phút và một chuỗi,led chạy từ A lên C với vận tốc 10 m/phút. Sau khi,đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất,phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng,nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu,tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất? 16

Conan Cool Kid · Accepted Answer

Ta có: $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 3 (m)$

Đặt hình vào hệ trục tọa độ như hình vẽ với O $O$ trùng $B, C (3, 0), A (0, - 4)$

Lấy $D \in A B, E \in A C$

Thời gian đèn chạy hết quãng đường AB là $\frac{4}{4} = 1 (p h ú t)$

$\to \vec{O A} = (0, - 4) \cdot 1 = (0, - 4)$

→Phương trình OA là:

${\begin{cases} x = 0 + 0 t \\ y = 0 + (- 4) t \end{cases} \to D (0, - 4 t)$

Thời gian đèn led đi hết quãng đường AC là $\frac{10}{5} = 2 (p h ú t)$

$\to \vec{A C} = 2 (3, 4) = (6, 8)$

→Phương trình AC là:

${\begin{cases} x = 0 + 6 t \\ y = - 4 + 8 t \end{cases} \to {\begin{cases} x = 6 t \\ y = - 4 + 8 t \end{cases}$

→E(6t,8t−4)

$\to D E = \sqrt{(6 t)^{2} + (12 t - 4)^{2}} = \sqrt{180 t^{2} - 96 t + 16} = \sqrt{180 (t - \frac{4}{15})^{2} + \frac{16}{5}} \geq \frac{4}{\sqrt{5}}$

$\to t = \frac{4}{15}$ (phút) =16(s)

→ Sau 6 giây kể từ thời điểm đóng nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất

Timi · Answer

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm độ dài cạnh AC:
   - Tam giác ABC vuông tại B, nên theo định lý Pythagoras:
     $$
     AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}
     $$

2. Xác định vị trí của các điểm sáng:
   - Gọi thời gian từ khi đóng nguồn điện đến khi khoảng cách giữa hai điểm sáng nhỏ nhất là $ t $ phút.
   - Điểm sáng từ B xuống A sẽ di chuyển được $ 4t $ mét.
   - Điểm sáng từ A lên C sẽ di chuyển được $ 10t $ mét.

3. Xác định khoảng cách giữa hai điểm sáng:
   - Khi đó, khoảng cách từ B đến điểm sáng trên AB là $ 4 - 4t $ mét.
   - Khoảng cách từ A đến điểm sáng trên AC là $ 10t $ mét.
   - Ta cần tìm khoảng cách giữa hai điểm sáng này.

4. Áp dụng công thức khoảng cách trong tam giác:
   - Gọi khoảng cách giữa hai điểm sáng là $ d $. Ta có:
     $$
     d^2 = (4 - 4t)^2 + (10t)^2 - 2(4 - 4t)(10t)\cos(\angle BAC)
     $$
   - Vì $ \angle BAC = \arcsin\left(\frac{4}{\sqrt{41}}\right) $, ta có:
     $$
     \cos(\angle BAC) = \frac{5}{\sqrt{41}}
     $$
   - Thay vào công thức:
     $$
     d^2 = (4 - 4t)^2 + (10t)^2 - 2(4 - 4t)(10t)\left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right)
     $$

5. Tìm giá trị $ t $ để $ d $ nhỏ nhất:
   - Ta cần tìm đạo hàm của $ d^2 $ theo $ t $ và đặt nó bằng 0 để tìm giá trị $ t $ tối ưu.
   - Đạo hàm của $ d^2 $:
     $$
     \frac{d(d^2)}{dt} = 2(4 - 4t)(-4) + 2(10t)(10) - 2\left[(-4)(10t) + (4 - 4t)(10)\right]\left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right)
     $$
   - Đặt đạo hàm bằng 0 và giải phương trình:
     $$
     -8(4 - 4t) + 200t - 2\left[-40t + 40 - 40t\right]\left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right) = 0
     $$
   - Giải phương trình này, ta tìm được $ t = \frac{1}{4} $ phút.

6. Chuyển đổi đơn vị thời gian:
   - $ t = \frac{1}{4} $ phút = 15 giây.

Vậy sau 15 giây từ thời điểm đóng nguồn điện thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất.