giup minh voi a

Câu 1. a) $~V=\pi\int_{0}^{\pi}\cos^2\frac x2dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}(1+\cos x)dx=\frac{\pi}{2}[x+\sin x]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}.$ b) $~V=\pi\int_{0}^{2}(x^2-2x)^2dx=\pi\int_{0}^{2}(x^4-4x^3+4x^2)dx=\pi[\frac{x^5}{5}-x^4+\frac{4x^3}{3}]_{0}^{2}=\frac{16\pi}{15}.$ Câu 2. Để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( f(x) = x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 2 \) quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt của khối tròn xoay: - Khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quay quanh trục Ox, thể tích của khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] 2. Áp dụng công thức vào bài toán: - Trong bài toán này, hàm số \( f(x) = x \), và khoảng giới hạn là từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \). Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{1}^{2} x^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: - Tích phân của \( x^2 \) từ 1 đến 2 là: \[ \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] - Đánh giá tại các cận: \[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] 4. Nhân với \(\pi\): - Thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \cdot \frac{7}{3} = \frac{7\pi}{3} \] Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là: \[ \boxed{\frac{7\pi}{3}} \] Câu 3. Để tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường xung quanh trục Ox, ta sẽ sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) \) là hàm số giới hạn trên hoặc dưới của hình phẳng. a) \( y = 2\sqrt{x}, y = 0, x = 1, x = 4 \) - Hàm số giới hạn trên là \( y = 2\sqrt{x} \). - Giới hạn tích phân từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \). Thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \int_{1}^{4} (2\sqrt{x})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{1}^{4} 4x \, dx \] \[ V = 4\pi \int_{1}^{4} x \, dx \] \[ V = 4\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} \] \[ V = 4\pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ V = 4\pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = 4\pi \left( 8 - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = 4\pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) \] \[ V = 4\pi \left( \frac{15}{2} \right) \] \[ V = 30\pi \] b) \( y = 4x, y = x^3, x = 0, x = 2 \) - Hàm số giới hạn trên là \( y = 4x \). - Hàm số giới hạn dưới là \( y = x^3 \). - Giới hạn tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \int_{0}^{2} [(4x)^2 - (x^3)^2] \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} [16x^2 - x^6] \, dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} \] \[ V = \pi \left( \frac{16 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^7}{7} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{16 \cdot 8}{3} - \frac{128}{7} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{128}{3} - \frac{128}{7} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{128 \cdot 7 - 128 \cdot 3}{21} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{896 - 384}{21} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{512}{21} \right) \] \[ V = \frac{512\pi}{21} \] Đáp số: a) \( V = 30\pi \) b) \( V = \frac{512\pi}{21} \) Câu 4. Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt của khối tròn xoay: Khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] 2. Áp dụng công thức vào bài toán: Trong bài toán này, hàm số là $y = \sqrt{x^2 + 1}$, và khoảng giới hạn là từ $x = 0$ đến $x = 1$. Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x^2 + 1})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta tính tích phân $\int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx$: \[ \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \] 4. Nhân kết quả tích phân với $\pi$: \[ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} \] Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục hoành là $\frac{4\pi}{3}$. Câu 5. Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y = x^2 - 3x + 2$, trục hoành và các đường thẳng $x = 1$; $x = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$ là 1 đơn vị. 2. Tìm giao điểm của đường parabol với trục hoành: Để tìm giao điểm của đường parabol $y = x^2 - 3x + 2$ với trục hoành, ta giải phương trình: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Ta có: (x - 1)(x - 2) = 0 Vậy giao điểm là $x = 1$ và $x = 2$. Điều này trùng khớp với các đường thẳng đã cho. 3. Tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y = x^2 - 3x + 2$, trục hoành và các đường thẳng $x = 1$; $x = 2$ được tính bằng công thức: V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx Trong đó, $f(x) = x^2 - 3x + 2$, $a = 1$, và $b = 2$. V = \pi \int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2)^2 \, dx 4. Tính tích phân: Ta mở rộng $(x^2 - 3x + 2)^2$: (x^2 - 3x + 2)^2 = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 Do đó: V = \pi \int_{1}^{2} (x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4) \, dx Tính từng phần tích phân: \int_{1}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \int_{1}^{2} 6x^3 \, dx = 6 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = 6 \left( \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) = 6 \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 6 \left( 4 - \frac{1}{4} \right) = 6 \times \frac{15}{4} = \frac{90}{4} = \frac{45}{2} \int_{1}^{2} 13x^2 \, dx = 13 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = 13 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 13 \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = 13 \times \frac{7}{3} = \frac{91}{3} \int_{1}^{2} 12x \, dx = 12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 12 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 12 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 12 \times \frac{3}{2} = 18 \int_{1}^{2} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{1}^{2} = 4 (2 - 1) = 4 Tổng lại: V = \pi \left( \frac{31}{5} - \frac{45}{2} + \frac{91}{3} - 18 + 4 \right) Chuyển tất cả về cùng mẫu số chung (30): V = \pi \left( \frac{186}{30} - \frac{675}{30} + \frac{910}{30} - \frac{540}{30} + \frac{120}{30} \right) V = \pi \left( \frac{186 - 675 + 910 - 540 + 120}{30} \right) Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 6. Để tính thể tích của khối tròn xoay, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích khối tròn xoay của một hình phẳng quay quanh trục. Trước tiên, ta xác định khoảng tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Phương trình của đường cong là \( y = (1,5)^x \). Ta sẽ tính thể tích của khối tròn xoay khi phần hình phẳng giới hạn bởi đường cong này, trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 2 \) quay quanh trục hoành. Thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = (1,5)^x \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{2} [(1,5)^x]^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} (1,5)^{2x} \, dx \] Bây giờ, ta thực hiện phép tích phân: \[ \int (1,5)^{2x} \, dx \] Để tích phân hàm số \( (1,5)^{2x} \), ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt \( u = 2x \), thì \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{2} \). Khi \( x = 0 \), \( u = 0 \); khi \( x = 2 \), \( u = 4 \). Do đó, ta có: \[ \int_{0}^{2} (1,5)^{2x} \, dx = \int_{0}^{4} (1,5)^u \cdot \frac{du}{2} \] \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (1,5)^u \, du \] Tích phân của \( (1,5)^u \) là: \[ \int (1,5)^u \, du = \frac{(1,5)^u}{\ln(1,5)} + C \] Áp dụng vào khoảng tích phân từ 0 đến 4: \[ \frac{1}{2} \left[ \frac{(1,5)^u}{\ln(1,5)} \right]_{0}^{4} \] \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{(1,5)^4}{\ln(1,5)} - \frac{(1,5)^0}{\ln(1,5)} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \frac{(1,5)^4 - 1}{\ln(1,5)} \right) \] Bây giờ, ta nhân với \( \pi \): \[ V = \pi \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{(1,5)^4 - 1}{\ln(1,5)} \right) \] \[ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{(1,5)^4 - 1}{\ln(1,5)} \right) \] Tính toán cụ thể: \[ (1,5)^4 = 5,0625 \] \[ \ln(1,5) \approx 0,405465 \] Do đó: \[ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{5,0625 - 1}{0,405465} \right) \] \[ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{4,0625}{0,405465} \right) \] \[ V \approx \frac{\pi}{2} \times 10,02 \] \[ V \approx 5,01\pi \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là: \[ V \approx 5,01\pi \] Đáp số: \( V \approx 5,01\pi \) Câu 7. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos\frac x2,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=\frac\pi2$ là: \[S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^2 dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos x}{2} dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\] Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là: \[V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^2 dx = \pi \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}\] Đáp số: $\frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi}{2}$ Câu 8. a) Diện tích S của hình phẳng H là: \[ S = \int_{1}^{2} 2^x \, dx \] Tính tích phân: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Do đó: \[ S = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2} \] b) Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (2^x)^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} 2^{2x} \, dx \] Tính tích phân: \[ \int 2^{2x} \, dx = \frac{2^{2x}}{2 \ln 2} + C \] Do đó: \[ V = \pi \left[ \frac{2^{2x}}{2 \ln 2} \right]_{1}^{2} = \pi \left( \frac{2^{4}}{2 \ln 2} - \frac{2^{2}}{2 \ln 2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2 \ln 2} - \frac{4}{2 \ln 2} \right) = \pi \left( \frac{12}{2 \ln 2} \right) = \frac{6\pi}{\ln 2} \] Đáp số: a) Diện tích S của hình phẳng H là $\frac{2}{\ln 2}$. b) Thể tích V của khối tròn xoay là $\frac{6\pi}{\ln 2}$. Câu 9. a) Diện tích S của hình phẳng H là: \[ S = \int_{0}^{2} |x^2 - 2x| \, dx \] Ta thấy rằng \( y = x^2 - 2x \) có dấu âm trên khoảng \( (0, 2) \). Do đó: \[ S = \int_{0}^{2} -(x^2 - 2x) \, dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] Vậy diện tích S của hình phẳng H là: \[ S = \frac{4}{3} \] b) Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng H quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 2x)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] Tính giá trị tại các cận: \[ \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^5}{5} - 2^4 + \frac{4 \cdot 2^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} - 0^4 + \frac{4 \cdot 0^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right) - 0 = \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{32}{5} = \frac{96}{15}, \quad 16 = \frac{240}{15}, \quad \frac{32}{3} = \frac{160}{15} \] \[ \frac{96}{15} - \frac{240}{15} + \frac{160}{15} = \frac{96 - 240 + 160}{15} = \frac{16}{15} \] Vậy thể tích V của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \cdot \frac{16}{15} = \frac{16\pi}{15} \] Đáp số: a) Diện tích S của hình phẳng H là \( \frac{4}{3} \) b) Thể tích V của khối tròn xoay là \( \frac{16\pi}{15} \)