Câu 17 : (2,25 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Trên nửa mặt phẳng bờ AB, cùng phía với nửa đường tròn vẽ Ax, By lần lượt là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AO. Lấy hai điểm P. Q nằm trên Ax, By sao cho hat PIQ = 90 deg . Gọi H là hình chiếu vuông góc của 1 lên PQ.
1. Chứng minh tứ giác APHI nội tiếp.
2. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AH với PI và BH với IQ. Chứng minh MN//AB
3. Chứng minhtích AP. BQkhông đổi. Xác định vị trí các điểm P, Q trên Ax, By sao Giải hộ mình câu này với các bạn

Question

Câu 17 : (2,25 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Trên nửa mặt phẳng bờ AB, cùng phía với nửa đường tròn vẽ Ax, By lần lượt là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AO. Lấy hai điểm P. Q nằm trên Ax, By sao cho hat PIQ = 90 deg . Gọi H là hình chiếu vuông góc của 1 lên PQ. 
1. Chứng minh tứ giác APHI nội tiếp. 
2. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AH với PI và BH với IQ. Chứng minh MN//AB 
3. Chứng minhtích AP. BQkhông đổi. Xác định vị trí các điểm P, Q trên Ax, By sao Giải hộ mình câu này với các bạn

Timi · Accepted Answer

Câu 17
1. Chứng minh tứ giác APHI nội tiếp:
- Ta có $\widehat{PAI} = 90^\circ$ vì Ax là tia tiếp tuyến của (O) tại A.
- Ta cũng có $\widehat{PHI} = 90^\circ$ vì H là hình chiếu vuông góc của I lên PQ.
- Vậy tứ giác APHI có hai góc kề cạnh AI là góc vuông, nên tứ giác APHI nội tiếp.

2. Chứng minh MN // AB:
- Ta có $\widehat{PIQ} = 90^\circ$, do đó $\widehat{PIN} + \widehat{QIN} = 90^\circ$.
- Vì tứ giác APHI nội tiếp, ta có $\widehat{PAH} = \widehat{PIH}$.
- Mặt khác, $\widehat{PIH} + \widehat{QIH} = 90^\circ$ (vì $\widehat{PIQ} = 90^\circ$).
- Do đó, $\widehat{PAH} + \widehat{QIH} = 90^\circ$.
- Vì $\widehat{PAH} = \widehat{PIN}$ (cùng bằng $\widehat{PIH}$), ta có $\widehat{PIN} + \widehat{QIH} = 90^\circ$.
- Từ đây, ta suy ra $\widehat{PIN} = \widehat{QIH}$.
- Vì $\widehat{PIN} = \widehat{QIH}$, ta có MN // AB (theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

3. Chứng minh tích AP.BQ không đổi:
- Ta có $\widehat{PAI} = 90^\circ$ và $\widehat{PIQ} = 90^\circ$, do đó $\widehat{PAI} + \widehat{PIQ} = 180^\circ$.
- Vì $\widehat{PAI} + \widehat{PIQ} = 180^\circ$, ta có $\widehat{PAI} = \widehat{BQI}$.
- Mặt khác, $\widehat{API} = \widehat{BIQ}$ (góc giữa hai tiếp tuyến).
- Do đó, tam giác PAI và tam giác BQI đồng dạng theo trường hợp góc - góc.
- Từ đây, ta có $\frac{AP}{AI} = \frac{BI}{BQ}$.
- Vì I là trung điểm của AO, ta có AI = BI = R/2.
- Do đó, ta có $\frac{AP}{R/2} = \frac{R/2}{BQ}$.
- Từ đây, ta suy ra $AP.BQ = \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{4}$.

Vậy tích AP.BQ không đổi và bằng $\frac{R^2}{4}$.

Vị trí các điểm P, Q trên Ax, By sao cho tích AP.BQ không đổi là khi P và Q nằm trên các tia Ax và By sao cho $\widehat{PIQ} = 90^\circ$.

Teakook - Yoonmin · Answer

1) Vì Ax là tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle \widehat{OAx} =90^{0}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{IAP} =\widehat{PHI} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow A,H$ thuộc đường tròn đường kính PI
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác APHI nội tiếp
3) Ta có: $\displaystyle \widehat{AIP} +\widehat{PIQ} +\widehat{BIQ} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AIP} +90^{0} +\widehat{BIQ} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AIP} +\widehat{BIQ} =90^{0}$
Mà $\displaystyle \widehat{AIP} +\widehat{API} =90^{0}$
Do đó $\displaystyle \widehat{BIQ} =\widehat{API}$
Xét $\displaystyle \vartriangle API$ vuông tại A và $\displaystyle \vartriangle BIQ$ vuông tại B có:
$\displaystyle \widehat{API} =\widehat{BIQ}$
Do đó $\displaystyle \vartriangle API\backsim \vartriangle BIQ$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{AP}{IB} =\frac{AI}{BQ} \Longrightarrow AP.BQ=IA.IB$
Ta có: $\displaystyle ( IA-IB)^{2} \geqslant 0\Longrightarrow ( IA+IB)^{2} \geqslant 4IA.IB$
$\displaystyle \Longrightarrow IA.IB\leqslant \frac{AB^{2}}{4} =R^{2}$
$\displaystyle \Longrightarrow AP.BQ\leqslant R^{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\displaystyle IA=IB\Longrightarrow I\equiv O$

Câu 17 : (2,25 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Trên nửa mặt phẳng bờ AB, cùng phía với nửa đường tròn vẽ Ax, By lần lượt là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B. Gọi I là trung điể...