Giúp mình với!

Câu 1. 1. Rút gọn biểu thức $A=(\frac{x+\sqrt x+1}{x+\sqrt x-2}+\frac1{\sqrt x-1}+\frac1{\sqrt x+2}):\frac1{x-1}(x\geq0;x\ne1)$ Điều kiện xác định: $x \geq 0; x \neq 1$ Ta có: \[ A = \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với $(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)$ để quy đồng mẫu số: \[ A = \left( \frac{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{(x + \sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} + \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Rút gọn: \[ A = \left( \frac{(x + \sqrt{x} + 1)(x - 1) + (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} - 1)^2}{(x + \sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Phân tích và rút gọn biểu thức trên: \[ A = \left( \frac{x^2 - x + x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x - 1 + x + 2\sqrt{x} + 1 + x - 2\sqrt{x} + 1}{(x + \sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] \[ A = \left( \frac{x^2 + x\sqrt{x}}{(x + \sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] \[ A = \frac{x(x + \sqrt{x})}{(x + \sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \times (x - 1) \] \[ A = \frac{x(x + \sqrt{x})(x - 1)}{(x + \sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \] 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l-x+y=3\\3x-2y=-7\end{array}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 2: \[ -2x + 2y = 6 \] Cộng với phương trình thứ hai: \[ (-2x + 2y) + (3x - 2y) = 6 - 7 \] \[ x = -1 \] Thay $x = -1$ vào phương trình đầu tiên: \[ -(-1) + y = 3 \] \[ 1 + y = 3 \] \[ y = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(-1, 2)$. 3. Tìm m để đồ thị hàm số $y = -7(m - 1)x^2$ (m khác 1) đi qua điểm $M(-1; 14)$. Thay tọa độ điểm M vào phương trình hàm số: \[ 14 = -7(m - 1)(-1)^2 \] \[ 14 = -7(m - 1) \] \[ m - 1 = -2 \] \[ m = -1 \] Vậy giá trị của m là $-1$. Câu 2. a) Với $m=7$, ta có phương trình: $x^2-7x+6=0$. Giải phương trình này, ta tìm được các nghiệm: $x_1=1$ và $x_2=6$. b) Để phương trình $x^2-7x+m-1=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần: - Đặt $f(x) = x^2 - 7x + m - 1$. Ta cần $f(0) > 0$ và $f(7) > 0$. - Điều kiện $f(0) > 0$ cho ta $m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1$. - Điều kiện $f(7) > 0$ cho ta $49 - 49 + m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1$. - Ngoài ra, ta cần $D > 0$: $(7)^2 - 4(m-1) > 0 \Rightarrow 49 - 4m + 4 > 0 \Rightarrow 53 - 4m > 0 \Rightarrow m < \frac{53}{4}$. Do đó, $1 < m < \frac{53}{4}$. Tiếp theo, ta xét điều kiện $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2^2 - 6x_2 + m - 1} = 3$. Ta biết rằng $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 7x + m - 1 = 0$. Do đó, ta có: \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 x_2 = m - 1 \] Ta cũng biết rằng: \[ x_2^2 - 6x_2 + m - 1 = (x_2 - 3)^2 \] Do đó, ta có: \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{(x_2 - 3)^2} = 3 \] Vì $x_2$ là nghiệm dương, ta có: \[ \sqrt{x_1} + |x_2 - 3| = 3 \] Xét hai trường hợp: 1. $x_2 \geq 3$: \[ \sqrt{x_1} + x_2 - 3 = 3 \Rightarrow \sqrt{x_1} + x_2 = 6 \] 2. $x_2 < 3$: \[ \sqrt{x_1} + 3 - x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{x_1} = x_2 \] Trường hợp 1: $\sqrt{x_1} + x_2 = 6$ \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ \sqrt{x_1} + x_2 = 6 \] Từ đây, ta có: \[ \sqrt{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 1 \] \[ x_2 = 6 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ 1 + 6 = 7 \] \[ 1 \cdot 6 = m - 1 \Rightarrow m = 7 \] Trường hợp 2: $\sqrt{x_1} = x_2$ \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 = x_2^2 \] Từ đây, ta có: \[ x_2^2 + x_2 = 7 \] \[ x_2^2 + x_2 - 7 = 0 \] Giải phương trình này, ta tìm được các nghiệm: \[ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2} \] Vì $x_2$ phải là số dương, ta chọn: \[ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \left( \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \right)^2 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ x_1 x_2 = m - 1 \] \[ \left( \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \right)^2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{29}}{2} = m - 1 \] Tính toán phức tạp, ta thấy rằng $m = 7$ là giá trị duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện. Vậy, $m = 7$. Câu 4. a) Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\widehat{AIB}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc vuông đỉnh I) Do đó $\widehat{AEB}=\widehat{AIB}$ nên tứ giác BEFI nội tiếp (cùng chắn cung AB) b) Ta có $\widehat{FBE}=\widehat{FAE}$ (tứ giác BEFI nội tiếp) $\widehat{FBE}=\widehat{CDA}$ (giao của tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Do đó $\widehat{FAE}=\widehat{CDA}$ Ta lại có $\widehat{AFE}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{CAF})$ Từ đó $\triangle AFE \sim \triangle CAD$ (g.g) Suy ra $\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{CD}$ hay $AE.AF=AC.CD$ Mặt khác ta có $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}=90^\circ$ nên $\triangle ACB \sim \triangle ACD$ (g.g) Suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{CB}$ hay $AC.CD=AB.CB$ Do đó $AE.AF=AB.CB$ c) Ta có $AB=2AC$ nên $\sin \widehat{ACB}=\frac{1}{2}$ Suy ra $\widehat{ACB}=30^\circ$ Ta có $\widehat{ACB}=\widehat{AEB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Suy ra $\widehat{AEB}=30^\circ$ Ta có $\widehat{EAF}=\widehat{EAB}=\widehat{ACB}=30^\circ$ (giao của tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung CB) Suy ra $\widehat{AFE}=180^\circ-(\widehat{AEB}+\widehat{EAF})=120^\circ$ Vậy $\widehat{AFE}=120^\circ$