giúp tui giải

Câu 1. Ta sẽ sử dụng công thức tính logarit cơ bản để giải quyết bài toán này. Theo công thức $\log_a(a^x) = x$, ta có: \[ \log_a(a^{20}) = 20 \] Do đó, mệnh đề đúng là: \[ D.~\log_a(a^{20}) = 20 \] Đáp án: D. $\log_a(a^{20}) = 20$. Câu 2. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề đúng. A. $\log_a \frac{1}{a^2} = -2$ Ta có: \[ \log_a \frac{1}{a^2} = \log_a (a^{-2}) = -2 \log_a a = -2 \cdot 1 = -2 \] Vậy mệnh đề A đúng. B. $\log_a \frac{1}{a^2} = 2$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: \[ \log_a \frac{1}{a^2} = -2 \] Vậy mệnh đề B sai. C. $\log_a \frac{1}{a^2} = -\frac{1}{2}$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: \[ \log_a \frac{1}{a^2} = -2 \] Vậy mệnh đề C sai. D. $\log_a \frac{1}{a^2} = \frac{1}{2}$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: \[ \log_a \frac{1}{a^2} = -2 \] Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. $\log_a \frac{1}{a^2} = -2$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit để biến đổi biểu thức $\log_{\sqrt{a}}\left(\frac{1}{a^5}\right)$. Bước 1: Biến đổi cơ số của lôgarit: \[ \log_{\sqrt{a}}\left(\frac{1}{a^5}\right) = \log_{a^{1/2}}(a^{-5}) \] Bước 2: Áp dụng tính chất lôgarit $\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)$: \[ \log_{a^{1/2}}(a^{-5}) = -5 \cdot \log_{a^{1/2}}(a) \] Bước 3: Áp dụng tính chất lôgarit $\log_{b^c}(a) = \frac{1}{c} \cdot \log_b(a)$: \[ \log_{a^{1/2}}(a) = \frac{1}{1/2} \cdot \log_a(a) = 2 \cdot \log_a(a) \] Bước 4: Biết rằng $\log_a(a) = 1$: \[ \log_{a^{1/2}}(a) = 2 \cdot 1 = 2 \] Bước 5: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu: \[ -5 \cdot \log_{a^{1/2}}(a) = -5 \cdot 2 = -10 \] Vậy, $\log_{\sqrt{a}}\left(\frac{1}{a^5}\right) = -10$. Do đó, mệnh đề đúng là: \[ B.~\log_{\sqrt a}\left(\frac{1}{a^5}\right) = -10. \] Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức \( P \). Biểu thức ban đầu là: \[ P = \log_a \left( \frac{1}{a^9 b^6} \right) \] Áp dụng tính chất logarit của thương: \[ \log_a \left( \frac{1}{x} \right) = -\log_a(x) \] Do đó: \[ P = -\log_a(a^9 b^6) \] Tiếp theo, áp dụng tính chất logarit của tích: \[ \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \] Do đó: \[ P = -(\log_a(a^9) + \log_a(b^6)) \] Sau đó, áp dụng tính chất logarit của lũy thừa: \[ \log_a(x^n) = n \log_a(x) \] Do đó: \[ P = -(9 \log_a(a) + 6 \log_a(b)) \] Biết rằng \(\log_a(a) = 1\): \[ P = -(9 \cdot 1 + 6 \log_a(b)) \] \[ P = -(9 + 6 \log_a(b)) \] \[ P = -9 - 6 \log_a(b) \] Vậy khẳng định đúng là: \[ C.~P = -9 - 6 \log_a(b) \] Câu 5. Để tính giá trị biểu thức \( P = \log_5 \frac{3125}{6} + \log_5 468750 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức logarit tổng: \[ \log_b (xy) = \log_b x + \log_b y \] Do đó: \[ P = \log_5 \left( \frac{3125}{6} \times 468750 \right) \] Bước 2: Tính tích trong ngoặc: \[ \frac{3125}{6} \times 468750 = \frac{3125 \times 468750}{6} \] Bước 3: Tính \( 3125 \times 468750 \): \[ 3125 \times 468750 = 1464843750 \] Bước 4: Chia kết quả cho 6: \[ \frac{1464843750}{6} = 244140625 \] Bước 5: Thay kết quả vào biểu thức logarit: \[ P = \log_5 244140625 \] Bước 6: Xác định giá trị của \( \log_5 244140625 \): \[ 244140625 = 5^{12} \] \[ \log_5 244140625 = \log_5 (5^{12}) = 12 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = 12 \] Đáp án đúng là: D. 12 Câu 6. Để biểu diễn $\log 2560$ theo $a$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\log 2560$: Ta có thể viết $2560$ dưới dạng: \[ 2560 = 256 \times 10 = 2^8 \times 10 \] Do đó: \[ \log 2560 = \log (2^8 \times 10) \] 2. Áp dụng tính chất của logarit: Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log (2^8 \times 10) = \log 2^8 + \log 10 \] Ta biết rằng $\log 10 = 1$. Vì vậy: \[ \log 2560 = \log 2^8 + 1 \] 3. Biểu diễn $\log 2^8$ theo $a$: Ta biết rằng $\log 4 = a$. Mà $4 = 2^2$, nên: \[ \log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2 \] Do đó: \[ 2 \log 2 = a \implies \log 2 = \frac{a}{2} \] Tiếp theo, ta có: \[ \log 2^8 = 8 \log 2 = 8 \left(\frac{a}{2}\right) = 4a \] 4. Tổng hợp lại: Kết hợp các kết quả trên, ta có: \[ \log 2560 = 4a + 1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~4a+1} \] Câu 7. Để biểu diễn $\log_{324} 405$ theo $a$ và $b$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\log_3 405$: Ta có: \[ 405 = 3^4 \times 5 \] Do đó: \[ \log_3 405 = \log_3 (3^4 \times 5) = \log_3 3^4 + \log_3 5 = 4 + b \] 2. Tìm giá trị của $\log_3 324$: Ta có: \[ 324 = 3^4 \times 4 = 3^4 \times 2^2 \] Do đó: \[ \log_3 324 = \log_3 (3^4 \times 2^2) = \log_3 3^4 + \log_3 2^2 = 4 + 2\log_3 2 = 4 + 2a \] 3. Biểu diễn $\log_{324} 405$ theo $a$ và $b$: Ta sử dụng công thức đổi cơ sở: \[ \log_{324} 405 = \frac{\log_3 405}{\log_3 324} \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ \log_{324} 405 = \frac{4 + b}{4 + 2a} \] Do đó, biểu diễn $\log_{324} 405$ theo $a$ và $b$ là: \[ P = \frac{4 + b}{4 + 2a} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~P=\frac{b+4}{2a+4}} \]