Giúp mình với!

Bài 6: Theo bài ra, ta có: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = -3 \] Bây giờ, ta cần tính \( C = \frac{5x^2_1 + 10x_2 + 30}{x^3_1 + x^3_2} \). Ta sẽ tính từng phần của biểu thức \( C \): 1. Tính \( x^3_1 + x^3_2 \): \[ x^3_1 + x^3_2 = (x_1 + x_2)(x^2_1 - x_1 x_2 + x^2_2) \] \[ x^2_1 + x^2_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 2^2 - 2(-3) = 4 + 6 = 10 \] \[ x^3_1 + x^3_2 = 2(10 - (-3)) = 2(10 + 3) = 2 \times 13 = 26 \] 2. Tính \( 5x^2_1 + 10x_2 + 30 \): \[ 5x^2_1 + 10x_2 + 30 = 5(x^2_1 + 2x_2 + 6) \] \[ x^2_1 + 2x_2 + 6 = x^2_1 + 2x_2 + 6 \] Ta biết rằng: \[ x^2_1 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - x^2_2 = 4 - 2(-3) - x^2_2 = 4 + 6 - x^2_2 = 10 - x^2_2 \] Do đó: \[ x^2_1 + 2x_2 + 6 = 10 - x^2_2 + 2x_2 + 6 = 16 - x^2_2 + 2x_2 \] Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng trực tiếp: \[ 5x^2_1 + 10x_2 + 30 = 5(10 - x^2_2 + 2x_2) + 30 = 50 - 5x^2_2 + 10x_2 + 30 = 80 - 5x^2_2 + 10x_2 \] Nhưng ta nhận thấy rằng: \[ 5x^2_1 + 10x_2 + 30 = 5(x^2_1 + 2x_2 + 6) = 5(10 + 2x_2 + 6) = 5(16 + 2x_2) = 80 + 10x_2 \] Vậy: \[ 5x^2_1 + 10x_2 + 30 = 80 + 10x_2 \] Cuối cùng, ta có: \[ C = \frac{80 + 10x_2}{26} = \frac{80 + 10x_2}{26} = \frac{40 + 5x_2}{13} \] Vậy: \[ C = \frac{40 + 5x_2}{13} \] Đáp số: \( C = \frac{40 + 5x_2}{13} \) Bài 7: Theo bài ra, ta có phương trình $x^2-4x-1=0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Ta sẽ tính giá trị của biểu thức $M = (4x_1 + 1) + x_2^2$ mà không cần giải phương trình. Bước 1: Áp dụng định lý Vi-et để tìm tổng và tích của các nghiệm: - Tổng của các nghiệm: $x_1 + x_2 = 4$ - Tích của các nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = -1$ Bước 2: Ta cần tính giá trị của biểu thức $M = (4x_1 + 1) + x_2^2$. Bước 3: Ta biết rằng $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 4x - 1 = 0$, do đó thay $x_2$ vào phương trình ta có: \[ x_2^2 - 4x_2 - 1 = 0 \] \[ x_2^2 = 4x_2 + 1 \] Bước 4: Thay $x_2^2 = 4x_2 + 1$ vào biểu thức $M$: \[ M = (4x_1 + 1) + x_2^2 \] \[ M = (4x_1 + 1) + (4x_2 + 1) \] \[ M = 4x_1 + 1 + 4x_2 + 1 \] \[ M = 4(x_1 + x_2) + 2 \] Bước 5: Thay tổng của các nghiệm $x_1 + x_2 = 4$ vào biểu thức: \[ M = 4(4) + 2 \] \[ M = 16 + 2 \] \[ M = 18 \] Vậy giá trị của biểu thức $M$ là 18. Bài 8: Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình $4x^2-10x+1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$: $x_1+x_2=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ và $x_1x_2=\frac{1}{4}$ Ta có: $T=\frac1{\sqrt{x_1}}-\frac1{\sqrt{x_2}}=\frac{\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1x_2}}$ $=\frac{-(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1x_2}}$ $=\frac{-\sqrt{(x_1-x_2)^2}}{\sqrt{x_1x_2}}$ $=\frac{-\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}}{\sqrt{x_1x_2}}$ $=\frac{-\sqrt{(\frac{5}{2})^2-4\times \frac{1}{4}}}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$ $=\frac{-\sqrt{\frac{21}{4}}}{\frac{1}{2}}$ $=-\sqrt{21}$ Vậy $T=-\sqrt{21}$ Bài 9: Điều kiện xác định: $x \neq 0$. Theo định lý Vi-et ta có: $x_{1}+x_{2}=5$ $x_{1}.x_{2}=3$ Ta có: $T=\frac{(x^{2}_{1}-4x_{1}+2)(x_{2}-1)}{x^{3}_{1}+x^{3}_{2}}$ $=\frac{x^{2}_{1}(x_{2}-1)-4x_{1}(x_{2}-1)+2(x_{2}-1)}{(x_{1}+x_{2})(x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2})}$ $=\frac{x^{2}_{1}x_{2}-x^{2}_{1}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{(x_{1}+x_{2})(x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2})}$ $=\frac{x^{2}_{1}x_{2}+x^{2}_{2}-x^{2}_{1}-x^{2}_{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{(x_{1}+x_{2})(x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2})}$ $=\frac{x^{2}_{2}-x^{2}_{1}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-x^{2}_{1}+x^{2}_{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-(x^{2}_{1}-x^{2}_{2})-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-(x_{1}-x_{2}).5-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-5x_{1}+5x_{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}+2x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-4x_{1}x_{2}-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-12-2}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{x^{2}_{1}-3+x^{2}_{2}}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}-3}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-3}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{25-6-3}$ $=\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{16}$ Đáp số: $\frac{-x_{1}+7x_{2}-14}{16}$ Bài 10: Để tính giá trị biểu thức \( C = \frac{\sqrt{x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_2}}{x_1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các nghiệm của phương trình \( x^2 - 7x + 9 = 0 \) Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 9 \] Bước 2: Tính giá trị biểu thức \( C \) Ta có: \[ C = \frac{\sqrt{x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_2}}{x_1} \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với \( \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2} \): \[ C = \frac{\sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}}{x_2 \cdot \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}} + \frac{\sqrt{x_2} \cdot \sqrt{x_2} \cdot \sqrt{x_1}}{x_1 \cdot \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}} \] \[ C = \frac{x_1 \cdot \sqrt{x_2}}{x_2 \cdot \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}} + \frac{x_2 \cdot \sqrt{x_1}}{x_1 \cdot \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}} \] \[ C = \frac{x_1}{x_2 \cdot \sqrt{x_1}} + \frac{x_2}{x_1 \cdot \sqrt{x_2}} \] \[ C = \frac{x_1}{\sqrt{x_1} \cdot x_2} + \frac{x_2}{\sqrt{x_2} \cdot x_1} \] \[ C = \frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} + \frac{\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1}} \] \[ C = \frac{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}} \] Bước 3: Thay giá trị \( x_1 \cdot x_2 = 9 \) vào biểu thức: \[ C = \frac{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}{\sqrt{9}} \] \[ C = \frac{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}{3} \] Bước 4: Tính \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} \) Ta biết rằng: \[ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2} \] \[ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 7 + 2\sqrt{9} \] \[ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 7 + 6 \] \[ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 13 \] \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{13} \] Bước 5: Thay giá trị \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{13} \) vào biểu thức: \[ C = \frac{\sqrt{13}}{3} \] Vậy giá trị biểu thức \( C \) là: \[ C = \frac{\sqrt{13}}{3} \]