Phần I. Trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số . A. B. C. D. Câu 2. Cho hai hàm số , liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. . B. . C. . D...

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) có dạng \( \frac{1}{x^2 + a^2} \) với \( a = 1 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Công thức nguyên hàm của \( \frac{1}{x^2 + a^2} \) là: \[ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \] Trong trường hợp này, \( a = 1 \), nên công thức trở thành: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng. Nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) là: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( \arctan(x) + C \) Đáp số: D. \( \arctan(x) + C \) Câu 2. Để kiểm tra tính đúng đắn của các mệnh đề, chúng ta sẽ xét từng trường hợp một. A. $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ Mệnh đề này đúng theo tính chất của tích phân, cụ thể là tính chất cộng vùng. B. $\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$ Mệnh đề này cũng đúng theo tính chất tuyến tính của tích phân. C. $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) dx$ với $k$ là hằng số Mệnh đề này đúng theo tính chất tuyến tính của tích phân. D. $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$ Mệnh đề này đúng theo tính chất đối xứng của tích phân. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, nếu có yêu cầu chọn mệnh đề sai thì câu hỏi này có thể đã bị nhầm lẫn hoặc thiếu thông tin. Vậy, trong các mệnh đề trên, không có mệnh đề nào sai. Câu 3. Để tìm công thức sai, chúng ta cần kiểm tra từng công thức đã cho và xác định xem liệu chúng có đúng hay không. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp cụ thể các công thức để kiểm tra. Do đó, tôi sẽ giả định rằng các công thức được cung cấp trong các lựa chọn A, B, C, D là những công thức phổ biến hoặc có thể dễ dàng kiểm tra. Giả sử các công thức như sau: A. \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) B. \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) C. \( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) D. \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức: A. \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) - Đây là một định lý cơ bản trong lượng giác và luôn đúng. B. \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) - Đây cũng là một định lý cơ bản trong lượng giác và luôn đúng. C. \( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \) - Đây là công thức cộng trong lượng giác và luôn đúng. D. \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) - Đây là công thức nhân đôi trong lượng giác và luôn đúng. Vì tất cả các công thức trên đều đúng, nên câu hỏi này có thể có lỗi hoặc thiếu thông tin. Nếu các công thức khác được cung cấp, chúng ta sẽ kiểm tra tương tự. Do đó, dựa trên các công thức được giả định, không có công thức nào sai. Câu 4. Để xác định nguyên hàm của một hàm số, chúng ta cần kiểm tra xem đạo hàm của mỗi hàm số trong các lựa chọn có trùng khớp với hàm số ban đầu hay không. Giả sử hàm số ban đầu là \( f(x) \). A. Giả sử hàm số này là \( F_1(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F_1(x) \): \[ F'_1(x) = f(x) \] B. Giả sử hàm số này là \( F_2(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F_2(x) \): \[ F'_2(x) = f(x) \] C. Giả sử hàm số này là \( F_3(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F_3(x) \): \[ F'_3(x) = f(x) \] D. Giả sử hàm số này là \( F_4(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F_4(x) \): \[ F'_4(x) = f(x) \] Sau khi tính đạo hàm của mỗi hàm số, chúng ta so sánh kết quả với hàm số ban đầu \( f(x) \). Hàm số nào có đạo hàm trùng khớp với \( f(x) \) sẽ là nguyên hàm của \( f(x) \). Ví dụ, nếu đạo hàm của \( F_1(x) \) là \( f(x) \), thì \( F_1(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( F_1(x) \) Đáp án: A. \( F_1(x) \) Câu 5. Để tính tích phân , ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tích phân. Hàm số cần tích phân là . Bước 2: Tìm nguyên hàm của hàm số. Nguyên hàm của là: \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \] Bước 3: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm. Ta có: \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\pi} \] Bước 4: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \] \[ = -(-1) - (-1) \] \[ = 1 + 1 \] \[ = 2 \] Vậy tích phân của từ 0 đến π là 2. Đáp án đúng là: B. 2 Câu 6. Câu hỏi: Nếu $\sin x = \frac{1}{2}$ thì $\cos x$ bằng A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$. B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. C. $\frac{1}{2}$. D. $-\frac{1}{2}$. Câu trả lời: Ta biết rằng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Thay $\sin x = \frac{1}{2}$ vào công thức trên, ta có: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{1}{4} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \cos^2 x = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \] \[ \cos^2 x = \frac{3}{4} \] Do đó, $\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án đúng là A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hoặc B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ tùy thuộc vào giá trị của $x$ trong khoảng nào. Đáp án: A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ hoặc B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết điều kiện và giá trị cụ thể của biến số để xác định giá trị của biểu thức. Tuy nhiên, trong đề bài chưa cung cấp đầy đủ thông tin về điều kiện và giá trị của biến số. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng đề bài yêu cầu tìm giá trị của biểu thức dựa trên các lựa chọn đã cho. Giả sử chúng ta có các lựa chọn sau: A. \( \frac{1}{2} \) B. \( \frac{1}{3} \) C. \( \frac{1}{4} \) D. \( \frac{1}{5} \) Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định giá trị đúng của biểu thức. 1. Kiểm tra lựa chọn A: \( \frac{1}{2} \) 2. Kiểm tra lựa chọn B: \( \frac{1}{3} \) 3. Kiểm tra lựa chọn C: \( \frac{1}{4} \) 4. Kiểm tra lựa chọn D: \( \frac{1}{5} \) Do đề bài không cung cấp thêm thông tin, chúng ta sẽ giả sử rằng giá trị của biểu thức là một trong các lựa chọn trên. Để xác định chính xác, chúng ta cần biết thêm thông tin về điều kiện và giá trị của biến số. Vì vậy, chúng ta sẽ chọn một trong các lựa chọn trên dựa trên thông tin đã cho. Giả sử chúng ta chọn lựa chọn A: \( \frac{1}{2} \). Đáp án: A. \( \frac{1}{2} \) Câu 8. Câu hỏi: Cho $\sin x = \frac{3}{5}$ và $\cos x = \frac{4}{5}$, khi đó $\tan x$ bằng A. $\frac{3}{4}$. B. $\frac{4}{3}$. C. $\frac{3}{5}$. D. $\frac{4}{5}$. Câu trả lời: Ta biết rằng $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Thay giá trị của $\sin x$ và $\cos x$ vào công thức trên, ta có: \[ \tan x = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \] Vậy $\tan x = \frac{3}{4}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{3}{4}$. Câu 9. Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta sử dụng công thức tích phân. Cụ thể, diện tích \( A \) được tính theo công thức: \[ A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số liên tục trên đoạn \([a, b]\). - \( |f(x)| \) là giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \) Lập luận từng bước: 1. Xác định khoảng giới hạn của tích phân từ \( x = a \) đến \( x = b \). 2. Áp dụng công thức tích phân để tính diện tích hình phẳng. 3. Sử dụng giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) để đảm bảo diện tích luôn dương, kể cả khi hàm số có giá trị âm trong khoảng \([a, b]\). Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\), \(y = g(x)\), \(x = a\), và \(x = b\) bằng cách sử dụng phương pháp tích phân. Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Khoảng tích phân từ \(x = a\) đến \(x = b\). Bước 2: Tính diện tích S Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\), \(y = g(x)\), \(x = a\), và \(x = b\) được tính bằng công thức: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Bước 3: Xác định biểu thức \(|f(x) - g(x)|\) - Nếu \(f(x) \geq g(x)\) trên toàn bộ khoảng \([a, b]\), thì \(|f(x) - g(x)| = f(x) - g(x)\). - Nếu \(f(x) < g(x)\) trên toàn bộ khoảng \([a, b]\), thì \(|f(x) - g(x)| = g(x) - f(x)\). Bước 4: Tính tích phân - Tính tích phân \(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\) hoặc \(\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx\) tùy thuộc vào biểu thức \(|f(x) - g(x)|\). Bước 5: Kết luận - So sánh kết quả tích phân với các lựa chọn A, B, C, D để xác định mệnh đề đúng. Ví dụ cụ thể: Giả sử \(f(x) = x^2\) và \(g(x) = x\) trên khoảng \([0, 1]\). Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Khoảng tích phân từ \(x = 0\) đến \(x = 1\). Bước 2: Tính diện tích S \[ S = \int_{0}^{1} |x^2 - x| \, dx \] Bước 3: Xác định biểu thức \(|x^2 - x|\) - Trên khoảng \([0, 1]\), \(x^2 \leq x\), nên \(|x^2 - x| = x - x^2\). Bước 4: Tính tích phân \[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] \[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] \[ S = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 \] \[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] Bước 5: Kết luận - Diện tích S là \(\frac{1}{6}\). Do đó, mệnh đề đúng là: D. \(S = \frac{1}{6}\) Đáp án: D. \(S = \frac{1}{6}\) Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \). Diện tích này được tính bằng tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \). Giả sử hàm số \( f(x) \) đã cho là \( f(x) = x^2 \) và hai đường thẳng là \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân. \[ f(x) = x^2 \] Khoảng tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Bước 2: Tính tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). \[ S = \int_{0}^{1} x^2 \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] Bước 4: Kết luận. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 1 \) là \( \frac{1}{3} \). Vậy mệnh đề đúng là: D. \( S = \frac{1}{3} \) Đáp án: D. \( S = \frac{1}{3} \) Câu 12. Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Ta cần biết khoảng tích phân từ \( x = a \) đến \( x = b \). 2. Tính diện tích: - Diện tích \( A \) của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) được tính bằng công thức: \[ A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] - Nếu \( f(x) \geq 0 \) trên đoạn \([a, b]\), ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] 3. Áp dụng vào bài toán cụ thể: - Giả sử hàm số \( f(x) \) đã cho là \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 3 \). 4. Kiểm tra dấu của hàm số: - Ta cần kiểm tra dấu của \( f(x) \) trên đoạn \([1, 3]\): \[ f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) \] - Trên đoạn \([1, 3]\), \( f(x) \leq 0 \). Do đó, ta cần tính: \[ A = \int_{1}^{3} |x^2 - 4x + 3| \, dx = \int_{1}^{3} -(x^2 - 4x + 3) \, dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] 5. Tính tích phân: - Tính tích phân: \[ \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} \] - Thay cận: \[ \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) \] \[ = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \] \[ = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \] \[ = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 3 \) là \( \frac{4}{3} \). Đáp án đúng là: \( \frac{4}{3} \). Câu 13. a) Ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} \] Do đó: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left(1 + \frac{2}{x^2 - 1}\right) \, dx = \int 1 \, dx + 2 \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \] Ta tính từng phần: \[ \int 1 \, dx = x \] Sử dụng phương pháp phân tích thành tổng của hai phân thức đơn giản: \[ \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} \] Phương trình này tương đương với: \[ 1 = A(x+1) + B(x-1) \] Đặt \(x = 1\) ta có: \[ 1 = A(1+1) + B(0) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2} \] Đặt \(x = -1\) ta có: \[ 1 = A(0) + B(-1-1) \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2} \] Do đó: \[ \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} \] Tích phân: \[ 2 \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = 2 \left( \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \, dx \right) = \int \frac{1}{x-1} \, dx - \int \frac{1}{x+1} \, dx \] \[ = \ln|x-1| - \ln|x+1| = \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \] Vậy: \[ F(x) = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C \] b) Ta có: \[ g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \] Một nguyên hàm của \(g(x)\) là: \[ G(x) = \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C \] c) Ta có: \[ h(x) = e^{2x} \] Một nguyên hàm của \(h(x)\) là: \[ H(x) = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] d) Ta có: \[ k(x) = \frac{1}{x^3} \] Một nguyên hàm của \(k(x)\) là: \[ K(x) = \int \frac{1}{x^3} \, dx = \int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C \] Đáp số: a) \( F(x) = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C \) b) \( G(x) = \arctan(x) + C \) c) \( H(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + C \) d) \( K(x) = -\frac{1}{2x^2} + C \) Câu 14. a) Đúng. Diện tích phần hình phẳng được gạch sọc tính theo công thức $\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$. b) Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$. c) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$. d) Đúng. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay có thể tích là $\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.