giúp mình với

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính khối lượng chất phóng xạ còn lại sau một khoảng thời gian nhất định. Công thức đó là: \[ N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \] Trong đó: - \( N(t) \) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian \( t \) ngày. - \( N_0 \) là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ. - \( T \) là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. - \( t \) là thời gian đã trôi qua kể từ khi bắt đầu. Ở đây, \( N_0 = 100 \) gam, \( T = 138 \) ngày. a) Sau 138 ngày thì khối lượng Poloni còn lại là 50 (gam) Áp dụng công thức: \[ N(138) = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{138}{138}} = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 100 \times \frac{1}{2} = 50 \text{ (gam)} \] Vậy sau 138 ngày, khối lượng Poloni còn lại là 50 gam. b) Khối lượng Poloni còn lại sau 30 ngày nhiều hơn 85 (gam) Áp dụng công thức: \[ N(30) = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{138}} \approx 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.217} \approx 100 \times 0.809 = 80.9 \text{ (gam)} \] Vậy sau 30 ngày, khối lượng Poloni còn lại là khoảng 80.9 gam, ít hơn 85 gam. c) Kể từ ngày thứ 55 trở đi thì khối lượng Poloni còn lại ít hơn 75 (gam) Áp dụng công thức: \[ N(55) = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{55}{138}} \approx 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.398} \approx 100 \times 0.676 = 67.6 \text{ (gam)} \] Vậy sau 55 ngày, khối lượng Poloni còn lại là khoảng 67.6 gam, ít hơn 75 gam. d) Kể từ ngày thứ 117 trở đi thì khối lượng Poloni mất đi nhiều hơn 80% so với khối lượng Poloni còn lại Áp dụng công thức: \[ N(117) = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{117}{138}} \approx 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.848} \approx 100 \times 0.536 = 53.6 \text{ (gam)} \] Khối lượng Poloni mất đi là: \[ 100 - 53.6 = 46.4 \text{ (gam)} \] Tỷ lệ khối lượng Poloni mất đi so với khối lượng ban đầu là: \[ \frac{46.4}{100} = 0.464 = 46.4\% \] Vậy kể từ ngày thứ 117 trở đi, khối lượng Poloni mất đi ít hơn 80%. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Sau 138 ngày thì khối lượng Poloni còn lại là 50 (gam) - Đáp án sai là: b) Khối lượng Poloni còn lại sau 30 ngày nhiều hơn 85 (gam), c) Kể từ ngày thứ 55 trở đi thì khối lượng Poloni còn lại ít hơn 75 (gam), d) Kể từ ngày thứ 117 trở đi thì khối lượng Poloni mất đi nhiều hơn 80%. Câu 1. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông. - SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - M là trung điểm của SB. - N là trung điểm của BC. Ta cần tìm số đo góc giữa hai đường thẳng BD và MN. Bước 1: Xác định vị trí của các đường thẳng BD và MN. - Đường thẳng BD là đường chéo của hình vuông ABCD. - Đường thẳng MN là đường thẳng nối trung điểm của SB và BC. Bước 2: Xác định góc giữa hai đường thẳng BD và MN. - Ta nhận thấy rằng đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SBC). - Đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ABCD). Bước 3: Tìm giao điểm của hai đường thẳng BD và MN. - Ta vẽ đường thẳng BD và MN trên cùng một mặt phẳng để dễ dàng xác định giao điểm. Bước 4: Xác định góc giữa hai đường thẳng BD và MN. - Ta nhận thấy rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng BC (vì N là trung điểm của BC). - Đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng AC (vì ABCD là hình vuông). Do đó, góc giữa hai đường thẳng BD và MN là góc vuông, tức là 90 độ. Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng BD và MN là 90 độ. Câu 2. Để tìm xác suất để chọn được 1 bạn thích học văn hoặc toán, ta cần biết tổng số bạn học sinh và số bạn học sinh thích học văn hoặc toán. Tổng số bạn học sinh trong tổ 1 là 15 bạn. Số bạn học sinh thích học văn hoặc toán: - Số bạn thích học văn: 7 bạn - Số bạn thích học toán: 6 bạn - Số bạn thích học cả văn và toán: 3 bạn Số bạn thích học văn hoặc toán là: \[ 7 + 6 - 3 = 10 \text{ bạn} \] Xác suất để chọn được 1 bạn thích học văn hoặc toán là: \[ \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] Phân số tối giản của xác suất này là $\frac{2}{3}$. Vậy $a = 2$ và $b = 3$. Câu 3. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta cần xác định tọa độ của điểm A và điểm B trong hệ tọa độ Oxyz. Từ hình vẽ, ta thấy: - Điểm A có tọa độ là (1; 2; 0). - Điểm B có tọa độ là (4; 3; 2). Bây giờ, ta sẽ tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1; 3 - 2; 2 - 0) = (3; 1; 2) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là (3; 1; 2). Cuối cùng, ta tính tổng của các thành phần thứ nhất và thứ ba của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ a + c = 3 + 2 = 5 \] Đáp số: 5 Câu 4. Để tìm các giá trị của \(a\) và \(b\), ta sẽ sử dụng thông tin về số lượng tế bào ban đầu và tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men. 1. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) từ điều kiện ban đầu: - Tại thời điểm \(t = 0\), số lượng tế bào là 20: \[ P(0) = \frac{a}{b + e^{0}} = \frac{a}{b + 1} = 20 \] Do đó: \[ a = 20(b + 1) \] 2. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) từ điều kiện tốc độ tăng trưởng: - Tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm men tại thời điểm \(t = 0\) là 12 tế bào/giờ. Ta tính đạo hàm của \(P(t)\): \[ P'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{a}{b + e^{-0,75t}}\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ P'(t) = \frac{-a \cdot (-0,75) \cdot e^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2} = \frac{0,75a \cdot e^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2} \] Tại thời điểm \(t = 0\): \[ P'(0) = \frac{0,75a \cdot e^{0}}{(b + e^{0})^2} = \frac{0,75a}{(b + 1)^2} = 12 \] Thay \(a = 20(b + 1)\) vào: \[ \frac{0,75 \cdot 20(b + 1)}{(b + 1)^2} = 12 \] Rút gọn: \[ \frac{15(b + 1)}{(b + 1)^2} = 12 \] \[ \frac{15}{b + 1} = 12 \] \[ 15 = 12(b + 1) \] \[ 15 = 12b + 12 \] \[ 3 = 12b \] \[ b = \frac{1}{4} \] Thay \(b = \frac{1}{4}\) vào \(a = 20(b + 1)\): \[ a = 20\left(\frac{1}{4} + 1\right) = 20 \cdot \frac{5}{4} = 25 \] 3. Tìm số lượng nấm men tối đa: - Hàm số \(P(t) = \frac{25}{\frac{1}{4} + e^{-0,75t}}\) sẽ tiến đến giới hạn khi \(t \to \infty\): \[ \lim_{t \to \infty} P(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{25}{\frac{1}{4} + e^{-0,75t}} = \frac{25}{\frac{1}{4} + 0} = \frac{25}{\frac{1}{4}} = 100 \] Vậy, các giá trị của \(a\) và \(b\) lần lượt là 25 và \(\frac{1}{4}\). Số lượng nấm men không vượt quá 100 tế bào. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 2. Xác định phương trình của mặt phẳng (P). 3. Áp dụng điều kiện khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) để tìm các tham số còn lại. 4. Tính giá trị của $-3a + c$. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ $\overrightarrow{BC}$. Ta tính $\overrightarrow{BC}$ như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (4 - 6, 5 - 4, 1 - 0) = (-2, 1, 1) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (-2, 1, 1)$. Bước 2: Xác định phương trình của mặt phẳng (P) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng: \[ -2x + y + z + d = 0 \] So sánh với phương trình đã cho $ax + y + cz + d = 0$, ta thấy $a = -2$, $c = 1$. Bước 3: Áp dụng điều kiện khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ điểm $M(2, 1, 6)$ đến mặt phẳng $-2x + y + z + d = 0$ là $\sqrt{6}$. Công thức khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ \sqrt{6} = \frac{|-2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 6 + d|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-4 + 1 + 6 + d|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|3 + d|}{\sqrt{6}} \] Nhân cả hai vế với $\sqrt{6}$: \[ 6 = |3 + d| \] Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. $3 + d = 6 \Rightarrow d = 3$ 2. $3 + d = -6 \Rightarrow d = -9$ Bước 4: Tính giá trị của $-3a + c$ Ta đã tìm được $a = -2$ và $c = 1$. Do đó: \[ -3a + c = -3(-2) + 1 = 6 + 1 = 7 \] Vậy giá trị của $-3a + c$ là $\boxed{7}$. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật. 1. Xác định biến và biểu thức diện tích: - Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( x \) (đơn vị: dm). - Chiều rộng của hình chữ nhật là \( y \). 2. Biểu thức diện tích: - Diện tích hình chữ nhật là \( S = x \cdot y \). 3. Liên hệ giữa \( x \) và \( y \): - Vì hình chữ nhật nằm trong nửa hình tròn, nên ta có: \[ y = \sqrt{R^2 - x^2} \] - Với \( R = 4 \): \[ y = \sqrt{16 - x^2} \] 4. Biểu thức diện tích theo \( x \): - Thay \( y \) vào biểu thức diện tích: \[ S = x \cdot \sqrt{16 - x^2} \] 5. Tìm đạo hàm của \( S \): - Đạo hàm của \( S \) theo \( x \): \[ S' = \sqrt{16 - x^2} + x \cdot \left( \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2}} \right) \] \[ S' = \sqrt{16 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \] \[ S' = \frac{(16 - x^2) - x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \] \[ S' = \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \] 6. Tìm điểm cực đại: - Đặt \( S' = 0 \): \[ \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} = 0 \] \[ 16 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 16 \] \[ x^2 = 8 \] \[ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 7. Kiểm tra điều kiện \( x \) và \( y \): - \( x = 2\sqrt{2} \) nằm trong khoảng \( 0 < x < 4 \). - \( y = \sqrt{16 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). 8. Diện tích lớn nhất: - Thay \( x = 2\sqrt{2} \) và \( y = 2\sqrt{2} \) vào biểu thức diện tích: \[ S_{\text{max}} = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8 \] Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được từ miếng tôn dạng nửa hình tròn là \( 8 \, \text{dm}^2 \).