giúp mình với Câu 30:,Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có,một mảnh vườn trồng hoa hình tròn bán kính 10m , người,ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn.,- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc,với nhau, hai đường thẳng này cắt,nhau tại điểm O ;,- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A,và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;,- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m ;,- Tâm / của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần,lượt là 40m và 30m . Hãy tính độ dài ngắn nhất Có thể,của cây cầu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,

Question

giúp mình với Câu 30:,Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có,một mảnh vườn trồng hoa hình tròn bán kính 10m , người,ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn.,- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc,với nhau, hai đường thẳng này cắt,nhau tại điểm O ;,- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A,và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;,- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m ;,- Tâm / của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần,lượt là 40m và 30m . Hãy tính độ dài ngắn nhất Có thể,của cây cầu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/b56ecab773fd44558824483838f1d859.jpg />

hyunguyen · Accepted Answer

Câu 30:

Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc như sau: Gốc O , chiều dương trục hoành là tia OC , chiều dương trục tung là tia OE , đơn vị hai trục là đơn vị độ dài ( 1 m ).
Khi đó ta có phương trình Parabol là $\mathrm{y}=-\frac{1}{10} \mathrm{x}^2+40$ và phương trình đường tròn là $(x-40)^2+(y-30)^2=100$.
Đường tròn có tâm $\mathrm{I}(40 ; 30)$ và bán kính 10 .
Lấy $\mathrm{M}\left(\mathrm{t} ;-\frac{1}{10} \mathrm{t}^2+40 ight)$ với $0 \leq \mathrm{t} \leq 20$
nằm trên Parabol thì khoảng cách ngắn nhất từ đường tròn đến M là

$$
\begin{aligned}
& M I-R=\sqrt{(40-t)^2+\left(\frac{1}{10} t^2-10 ight)^2}-10 \
& =\sqrt{\frac{1}{100} t^4-t^2-80 t+1700}-10
\end{aligned}
$$

Khảo sát hàm số suy ra khoảng cách ngắn nhất xấp xì 17,7.

Timi · Answer

Câu 30:
Để tính độ dài ngắn nhất của cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của parabol:
   - Parabol có đỉnh là điểm A và trục đối xứng là đường thẳng OA.
   - Ta chọn hệ tọa độ sao cho điểm O là gốc tọa độ, OA nằm trên trục y và OB nằm trên trục x.
   - Độ dài OA = 40m và OB = 20m.
   - Vì parabol có đỉnh là điểm A (0, 40), phương trình của parabol có dạng:
     $$
     y = a(x - 0)^2 + 40
     $$
   - Điểm B(20, 0) thuộc parabol, thay vào phương trình:
     $$
     0 = a(20 - 0)^2 + 40 \implies 0 = 400a + 40 \implies a = -\frac{1}{10}
     $$
   - Vậy phương trình của parabol là:
     $$
     y = -\frac{1}{10}x^2 + 40
     $$

2. Xác định tọa độ tâm I của mảnh vườn:
   - Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.
   - Do đó, tọa độ của tâm I là (30, 40).

3. Tìm điểm gần nhất trên parabol đến tâm I:
   - Gọi điểm M(x, y) trên parabol là điểm gần nhất đến tâm I.
   - Khoảng cách từ M đến I là:
     $$
     d = \sqrt{(x - 30)^2 + (y - 40)^2}
     $$
   - Thay y = -\frac{1}{10}x^2 + 40 vào:
     $$
     d = \sqrt{(x - 30)^2 + \left(-\frac{1}{10}x^2 + 40 - 40\right)^2} = \sqrt{(x - 30)^2 + \left(-\frac{1}{10}x^2\right)^2}
     $$
     $$
     d = \sqrt{(x - 30)^2 + \frac{1}{100}x^4}
     $$

4. Tìm giá trị cực tiểu của d:
   - Để tìm giá trị cực tiểu của d, ta tính đạo hàm của d theo x và đặt bằng 0:
     $$
     f(x) = (x - 30)^2 + \frac{1}{100}x^4
     $$
     $$
     f&#x27;(x) = 2(x - 30) + \frac{1}{25}x^3
     $$
     $$
     f&#x27;(x) = 0 \implies 2(x - 30) + \frac{1}{25}x^3 = 0
     $$
     $$
     2x - 60 + \frac{1}{25}x^3 = 0
     $$
     $$
     \frac{1}{25}x^3 + 2x - 60 = 0
     $$
     $$
     x^3 + 50x - 1500 = 0
     $$
   - Giải phương trình này, ta tìm được x ≈ 10.

5. Tính khoảng cách d khi x = 10:
   - Thay x = 10 vào phương trình của parabol:
     $$
     y = -\frac{1}{10}(10)^2 + 40 = -10 + 40 = 30
     $$
   - Tọa độ của điểm M là (10, 30).
   - Khoảng cách từ M đến I:
     $$
     d = \sqrt{(10 - 30)^2 + (30 - 40)^2} = \sqrt{(-20)^2 + (-10)^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.4
     $$

Vậy độ dài ngắn nhất của cây cầu là khoảng 22.4m.