Trong không gian (Oxyz), cho tam giác ABC có vector AB=(4;-1;-5), vector BC=(2;-4;-2), gọi M là trung điểm BC. Độ dài đoạn AM là

Để tìm độ dài đoạn thẳng \(AM\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta tính tọa độ của M bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của B và C. 2. Tìm vector AM: Vector \(AM\) được tìm bằng cách lấy hiệu giữa tọa độ của A và M. 3. Tính độ dài đoạn thẳng AM: Độ dài đoạn thẳng \(AM\) được tính bằng công thức độ dài của một vector trong không gian. Bây giờ, ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M Giả sử tọa độ của B là \((x_B, y_B, z_B)\) và tọa độ của C là \((x_C, y_C, z_C)\). Tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) \] Bước 2: Tìm vector AM Vector \(AM\) được tính bằng cách lấy hiệu giữa tọa độ của A và M: \[ \overrightarrow{AM} = (x_M - x_A, y_M - y_A, z_M - z_A) \] Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng AM Độ dài đoạn thẳng \(AM\) được tính bằng công thức: \[ |AM| = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] Áp dụng vào bài toán cụ thể Ta biết rằng: - Vector \(\overrightarrow{AB} = (4, -1, -5)\) - Vector \(\overrightarrow{BC} = (2, -4, -2)\) Giả sử tọa độ của A là \((x_A, y_A, z_A)\). Tọa độ của B là: \[ B = (x_A + 4, y_A - 1, z_A - 5) \] Tọa độ của C là: \[ C = (x_B + 2, y_B - 4, z_B - 2) \] \[ C = (x_A + 4 + 2, y_A - 1 - 4, z_A - 5 - 2) \] \[ C = (x_A + 6, y_A - 5, z_A - 7) \] Tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{(x_A + 4) + (x_A + 6)}{2}, \frac{(y_A - 1) + (y_A - 5)}{2}, \frac{(z_A - 5) + (z_A - 7)}{2} \right) \] \[ M = \left( \frac{2x_A + 10}{2}, \frac{2y_A - 6}{2}, \frac{2z_A - 12}{2} \right) \] \[ M = (x_A + 5, y_A - 3, z_A - 6) \] Vector \(AM\) là: \[ \overrightarrow{AM} = (x_M - x_A, y_M - y_A, z_M - z_A) \] \[ \overrightarrow{AM} = ((x_A + 5) - x_A, (y_A - 3) - y_A, (z_A - 6) - z_A) \] \[ \overrightarrow{AM} = (5, -3, -6) \] Độ dài đoạn thẳng \(AM\) là: \[ |AM| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-6)^2} \] \[ |AM| = \sqrt{25 + 9 + 36} \] \[ |AM| = \sqrt{70} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(\sqrt{70}\).