Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi H là giao điểm của AC và BD kẻ HK vuông góc với AD ( k€D) .
a, CM: tứ giác CDKH nội tiếp
b, gọi M là giao điểm của AB và CD .CM : M,H, K thẳng hàng

Question

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi H là giao điểm của AC và BD kẻ HK vuông góc với AD ( k€D) .
a, CM: tứ giác CDKH nội tiếp 
b, gọi M là giao điểm của AB và CD .CM : M,H, K thẳng hàng

chinh-tamnguyen · Accepted Answer

a, Vì AD là đường kính của (O)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow AC\perp CD\
\Rightarrow \widehat{ACD} =90^{o}
\end{array}$
Vì $\displaystyle HK\perp AD\Rightarrow \widehat{HKD} =90^{o}$
Xét tứ giác HKDC có : $\displaystyle \widehat{HKD} =\widehat{ACD} =90^{o}$
$\displaystyle \Rightarrow HKDC$ nội tiếp đường tròn
b,
Xét tam giác MAD có 2 đường cao AC, DB cắt nhau tại H
$\displaystyle \Rightarrow H$ là trực tâm
$\displaystyle \Rightarrow MH\perp AD$
mà $\displaystyle HK\perp AD\Rightarrow M,H,K$ thẳng hàng

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{CDK} = \widehat{CDA}$ (cùng chắn cung CA)
$\widehat{CHK} = \widehat{CAK}$ (cùng chắn cung CK)
Mà $\widehat{CDA} + \widehat{CAK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra $\widehat{CDK} + \widehat{CHK} = 90^\circ$
Tứ giác CDKH nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)

b) Ta có $\widehat{HCK} = \widehat{HDK}$ (cùng chắn cung HK)
$\widehat{HDK} = \widehat{HBA}$ (cùng chắn cung HA)
Suy ra $\widehat{HCK} = \widehat{HBA}$
Mà $\widehat{HCK} = \widehat{HMB}$ (đối đỉnh)
Suy ra $\widehat{HMB} = \widehat{HBA}$
Suy ra M, H, B thẳng hàng (vì tia HB nằm giữa hai tia HM và MB)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi H là giao điểm của AC và BD kẻ HK vuông góc với AD ( k€D) . a, CM: tứ giác CDKH nội tiếp b, gọi M là giao điểm của AB và CD .CM : M,H, K...