giúp mik với ạ

Câu 1: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > 0$ và $b > 0$. Chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào đúng với dạng này. A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = -1$ - Phương trình này không thể là phương trình chính tắc của elip vì vế phải là -1, trong khi vế phải của phương trình chính tắc phải là 1. B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{6} = 1$ - Phương trình này có dấu trừ giữa hai phân thức, do đó nó là phương trình chính tắc của hyperbol, không phải elip. C. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$ - Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 9$ và $b^2 = 6$, thỏa mãn điều kiện của phương trình chính tắc của elip. D. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ - Phương trình này cũng có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 6$ và $b^2 = 9$, thỏa mãn điều kiện của phương trình chính tắc của elip. Tuy nhiên, trong các phương án, chỉ có phương án C là đúng theo yêu cầu của đề bài. Vậy phương trình chính tắc của elip là: C. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$ Câu 2: Phương trình chính tắc của hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$. Trong các phương trình đã cho: - Phương án A: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = -1$ là phương trình của elip, không phải hyperbol. - Phương án B: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{6} = 1$ đúng theo dạng chính tắc của hyperbol. - Phương án C: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{6} = -1$ là dạng tiêu chuẩn của hyperbol nhưng bị đảo ngược dấu, không phải dạng chính tắc. - Phương án D: $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ là phương trình của elip, không phải hyperbol. Do đó, phương trình chính tắc của hyperbol là phương án B: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{6} = 1$. Câu 3: Phương trình chính tắc của parabol là phương trình có dạng \( y^2 = 2px \), trong đó \( p \) là tham số tiêu cự của parabol. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào có dạng này: A. \( y^2 = -2x \) - Phương trình này có dạng \( y^2 = 2px \) với \( p = -1 \). Do đó, đây là phương trình chính tắc của parabol. B. \( y^2 = 5x \) - Phương trình này có dạng \( y^2 = 2px \) với \( p = \frac{5}{2} \). Do đó, đây là phương trình chính tắc của parabol. C. \( y^2 = (\sqrt{2} - \sqrt{3})x \) - Phương trình này có dạng \( y^2 = 2px \) với \( p = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} \). Do đó, đây là phương trình chính tắc của parabol. D. \( y^2 = \frac{1}{-\sqrt{2}}x \) - Phương trình này có dạng \( y^2 = 2px \) với \( p = \frac{1}{-2\sqrt{2}} \). Do đó, đây là phương trình chính tắc của parabol. Như vậy, tất cả các phương trình đều là phương trình chính tắc của parabol. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần chọn phương trình nào đúng nhất trong các phương án đã cho. Vậy phương trình chính tắc của parabol là: B. \( y^2 = 5x \) Đáp án: B. \( y^2 = 5x \) Câu 4: Để tìm tiêu điểm của elip $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Ta thấy rằng phương trình đã cho có dạng chuẩn của elip: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình chuẩn, ta nhận thấy: \[ a^2 = 9 \quad \text{và} \quad b^2 = 6 \] - Do đó: \[ a = 3 \quad \text{và} \quad b = \sqrt{6} \] 2. Xác định loại elip: - Vì $a > b$, nên elip này có trục lớn nằm trên trục hoành (trục x). 3. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] - Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức: \[ c = \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3} \] 4. Xác định tọa độ của tiêu điểm: - Vì trục lớn nằm trên trục x, tiêu điểm sẽ có tọa độ $(\pm c, 0)$. - Do đó, tọa độ của hai tiêu điểm là: \[ (\sqrt{3}, 0) \quad \text{và} \quad (-\sqrt{3}, 0) \] 5. Lựa chọn đáp án đúng: - Trong các đáp án được đưa ra, tiêu điểm $(\sqrt{3}, 0)$ hoặc $(-\sqrt{3}, 0)$ đều đúng. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có đáp án C là đúng. Vậy đáp án đúng là: C. $(-\sqrt{3}, 0)$ Câu 5: Để tìm tiêu cự của elip $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng chuẩn $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình đã cho, ta nhận thấy: \[ a^2 = 5 \quad \text{và} \quad b^2 = 4 \] - Do đó: \[ a = \sqrt{5} \quad \text{và} \quad b = 2 \] 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm của elip là: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ c = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 \] 3. Tính tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là: \[ 2c = 2 \times 1 = 2 \] Vậy tiêu cự của elip $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$ là 2. Đáp án đúng là: A. 2 Câu 6: Để tìm tiêu điểm của đường hyperbol $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của đường hyperbol: - Đường hyperbol có dạng chuẩn $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình đã cho, ta có: \[ a^2 = 16 \quad \text{và} \quad b^2 = 9 \] - Do đó: \[ a = 4 \quad \text{và} \quad b = 3 \] 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] - Thay các giá trị của \(a\) và \(b\) vào công thức: \[ c = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 3. Xác định tọa độ của tiêu điểm: - Vì đường hyperbol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, tiêu điểm nằm trên trục hoành (trục \(x\)). - Tọa độ của hai tiêu điểm là \((\pm c, 0)\). Do đó, tọa độ của hai tiêu điểm là \((5, 0)\) và \((-5, 0)\). Trong các đáp án được đưa ra, tiêu điểm của đường hyperbol là điểm \((-5, 0)\). Đáp án đúng là: D. (-5, 0) Câu 7: Để xác định tiêu điểm của parabol \( y^2 = \frac{1}{2}x \), ta cần dựa vào công thức tiêu điểm của parabol \( y^2 = 4ax \). Trong đó: - \( a \) là khoảng cách từ đỉnh parabol đến tiêu điểm. Ta thấy rằng: \[ y^2 = \frac{1}{2}x \] So sánh với công thức chuẩn \( y^2 = 4ax \): \[ 4a = \frac{1}{2} \] \[ a = \frac{1}{8} \] Do đó, tiêu điểm của parabol \( y^2 = \frac{1}{2}x \) nằm tại \( F(a, 0) \), tức là: \[ F\left(\frac{1}{8}, 0\right) \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F\left(\frac{1}{8}, 0\right) \) Đáp án: A. \( F\left(\frac{1}{8}, 0\right) \) Câu 8: Để lập phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm A(5;0) và có một tiêu điểm là $F_2(3;0)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trung tâm và bán trục lớn: - Elip đi qua điểm A(5;0), do đó trung tâm của elip nằm giữa hai đỉnh trái và phải của elip. Vì vậy, trung tâm của elip là O(0,0). - Điểm A(5;0) là một đỉnh của elip, do đó bán trục lớn a của elip là 5. 2. Xác định khoảng cách từ trung tâm đến tiêu điểm: - Tiêu điểm $F_2(3;0)$ có tọa độ là (3,0). Khoảng cách từ trung tâm O(0,0) đến tiêu điểm $F_2(3,0)$ là c = 3. 3. Tính bán trục nhỏ: - Ta biết rằng trong elip, mối liên hệ giữa các đại lượng là: $c^2 = a^2 - b^2$ - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 3^2 = 5^2 - b^2 \\ 9 = 25 - b^2 \\ b^2 = 25 - 9 \\ b^2 = 16 \\ b = 4 \] 4. Viết phương trình chính tắc của elip: - Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ - Thay các giá trị a và b đã tính vào phương trình: \[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1 \\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ Câu 9. Để kiểm tra điểm nào thuộc hyperbol \((H): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\), ta sẽ lần lượt thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình và kiểm tra xem liệu phương trình có thỏa mãn hay không. A. \(A(0;3)\): \[ \frac{0^2}{25} + \frac{3^2}{9} = 0 + 1 = 1 \] Phương trình thỏa mãn, vậy điểm \(A(0;3)\) thuộc hyperbol. B. \(B(2;1)\): \[ \frac{2^2}{25} + \frac{1^2}{9} = \frac{4}{25} + \frac{1}{9} \] Tính tổng: \[ \frac{4}{25} + \frac{1}{9} = \frac{36}{225} + \frac{25}{225} = \frac{61}{225} \neq 1 \] Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm \(B(2;1)\) không thuộc hyperbol. C. \(C(5;0)\): \[ \frac{5^2}{25} + \frac{0^2}{9} = 1 + 0 = 1 \] Phương trình thỏa mãn, vậy điểm \(C(5;0)\) thuộc hyperbol. D. \(D(8;4)\): \[ \frac{8^2}{25} + \frac{4^2}{9} = \frac{64}{25} + \frac{16}{9} \] Tính tổng: \[ \frac{64}{25} + \frac{16}{9} = \frac{576}{225} + \frac{400}{225} = \frac{976}{225} \neq 1 \] Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm \(D(8;4)\) không thuộc hyperbol. Kết luận: Các điểm thuộc hyperbol \((H)\) là \(A(0;3)\) và \(C(5;0)\). Đáp án: A và C. Câu 10: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định tiêu điểm, thông số \( p \), đường chuẩn và khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn của parabol \( y^2 = \sqrt{2}x \). A. Tiêu điểm \( F(\sqrt{2}; 0) \) Phương trình tiêu chuẩn của parabol \( y^2 = 4px \) có tiêu điểm \( F(p, 0) \). So sánh với phương trình \( y^2 = \sqrt{2}x \), ta thấy rằng: \[ 4p = \sqrt{2} \] \[ p = \frac{\sqrt{2}}{4} \] Do đó, tiêu điểm \( F \left( \frac{\sqrt{2}}{4}, 0 \right) \). Vậy lựa chọn A sai. B. \( p = \sqrt{2} \) Trên đây, ta đã tính được \( p = \frac{\sqrt{2}}{4} \). Vậy lựa chọn B sai. C. Đường chuẩn \( \Delta: x = -\frac{\sqrt{2}}{4} \) Đường chuẩn của parabol \( y^2 = 4px \) là \( x = -p \). Với \( p = \frac{\sqrt{2}}{4} \), đường chuẩn là: \[ x = -\frac{\sqrt{2}}{4} \] Vậy lựa chọn C đúng. D. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn \( d(F; \Delta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Khoảng cách từ tiêu điểm \( F \left( \frac{\sqrt{2}}{4}, 0 \right) \) đến đường chuẩn \( x = -\frac{\sqrt{2}}{4} \) là: \[ d(F; \Delta) = \left| \frac{\sqrt{2}}{4} - \left( -\frac{\sqrt{2}}{4} \right) \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right| = \left| \frac{2\sqrt{2}}{4} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy lựa chọn D đúng. Kết luận Các lựa chọn đúng là: - C. Đường chuẩn \( \Delta: x = -\frac{\sqrt{2}}{4} \) - D. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn \( d(F; \Delta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Câu 11: Để xác định cặp điểm là các tiêu điểm của elip $(E):\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{4} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình đã cho, ta có: \[ a^2 = 6 \quad \text{và} \quad b^2 = 4 \] - Do đó: \[ a = \sqrt{6} \quad \text{và} \quad b = 2 \] 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] - Thay các giá trị của \(a\) và \(b\) vào công thức: \[ c = \sqrt{6 - 4} = \sqrt{2} \] 3. Xác định tọa độ của các tiêu điểm: - Vì \(a > b\), elip này có trục lớn nằm trên trục hoành (trục \(x\)). - Các tiêu điểm sẽ nằm trên trục \(x\) và có tọa độ: \[ F_1 = (-c, 0) \quad \text{và} \quad F_2 = (c, 0) \] - Thay giá trị của \(c\) vào: \[ F_1 = (-\sqrt{2}, 0) \quad \text{và} \quad F_2 = (\sqrt{2}, 0) \] 4. So sánh với các đáp án: - Đáp án A: \(F_{1,2} = (0; \pm 1)\) (sai vì tọa độ tiêu điểm không đúng). - Đáp án B: \(F_{1,2} = (\pm 1; 0)\) (sai vì tọa độ tiêu điểm không đúng). - Đáp án C: \(F_{1,2} = (\pm 3; 0)\) (sai vì tọa độ tiêu điểm không đúng). - Đáp án D: \(F_{1,2} = (1; \pm 2)\) (sai vì tọa độ tiêu điểm không đúng). Như vậy, không có đáp án nào trong các lựa chọn đã cho đúng với tọa độ tiêu điểm của elip. Tuy nhiên, nếu dựa trên các bước tính toán, tọa độ tiêu điểm đúng là \(F_1 = (-\sqrt{2}, 0)\) và \(F_2 = (\sqrt{2}, 0)\). Đáp án: Không có trong các lựa chọn đã cho. Câu 12: Phương trình elip đã cho là $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$. Ta nhận thấy rằng đây là dạng chuẩn của phương trình elip với trục lớn nằm trên trục hoành và trục nhỏ nằm trên trục tung. Trước tiên, ta xác định các thông số cơ bản của elip: - Trục lớn (2a) là $2\sqrt{3}$, do đó bán trục lớn (a) là $\sqrt{3}$. - Trục nhỏ (2b) là 2, do đó bán trục nhỏ (b) là 1. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: A. Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ bằng $\sqrt{3}$. - Trục lớn là $2\sqrt{3}$, trục nhỏ là 2. - Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ là $\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. - Phát biểu này đúng. B. Tiêu cự bằng 4. - Tiêu cự (2c) được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. - Ở đây, $a = \sqrt{3}$ và $b = 1$, nên $c = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$. - Tiêu cự là $2c = 2\sqrt{2}$, không phải 4. - Phát biểu này sai. C. Tâm sai $e = \frac{2}{3}$. - Tâm sai (e) được tính bằng công thức $e = \frac{c}{a}$. - Ở đây, $c = \sqrt{2}$ và $a = \sqrt{3}$, nên $e = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$. - Phát biểu này sai. D. Hai tiêu điểm $F_1(-2;0)$ và $F_2(2;0)$. - Tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn, cách tâm elip một khoảng c. - Ở đây, $c = \sqrt{2}$, nên hai tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{2};0)$ và $F_2(\sqrt{2};0)$, không phải $F_1(-2;0)$ và $F_2(2;0)$. - Phát biểu này sai. Kết luận: Phát biểu đúng là A. Tỉ số giữa trục lớn và trục nhỏ bằng $\sqrt{3}$.