Câu 5. Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 27 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 27, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được là số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Hoa là người đầu tiên bốc thăm, xác suất để Hoa trúng a thưởng là ( là phân số tối giản). Tính S=b-a. J.

Question

montmont1 · Accepted Answer

- Chọn ngẫu nhiên 5 phiếu, số cách chọn là:

$$
\binom{27}{5} = 80730.
$$
- Xét số dư khi chia 4:
- Dư 0: $ \{4, 8, 12, 16, 20, 24\} $ (6 số).
- Dư 1: $ \{1, 5, 9, 13, 17, 21, 25\} $ (7 số).
- Dư 2: $ \{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26\} $ (7 số).
- Dư 3: $ \{3, 7, 11, 15, 19, 23, 27\} $ (7 số).

- Số có dư 0 hoặc 2 khi bình phương sẽ cho $ 0 \mod 4 $.
- Số có dư 1 hoặc 3 khi bình phương sẽ cho $ 1 \mod 4 $.
- Để tổng bình phương chia hết cho 4, cần chọn số lượng chẵn số có dư 1 hoặc 3.
1. Chọn cả 5 số từ nhóm dư 0 hoặc 2:
$$
\binom{6}{5} = 6.
$$
2. Chọn 3 số từ nhóm dư 0 hoặc 2, 2 số từ nhóm dư 1 hoặc 3:
$$
\binom{6}{3} \times \binom{14}{2} = 20 \times 91 = 1820.
$$
3. Chọn 1 số từ nhóm dư 0 hoặc 2, 4 số từ nhóm dư 1 hoặc 3:
$$
\binom{6}{1} \times \binom{14}{4} = 6 \times 1001 = 6006.
$$

Tổng số trường hợp trúng:

$$
6 + 1820 + 6006 = 7832.
$$
$$
P = \frac{7832}{80730}.
$$

$$
\frac{7832}{80730} = \frac{62}{639}.
$$

Vậy $ a = 62 $, $ b = 639 $, ta tính:

$$
S = b - a = 639 - 62 = 577.
$$

Timi · Answer

Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất để tổng bình phương của 5 số ngẫu nhiên được chọn từ 1 đến 27 là số chia hết cho 4.

Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra
- Tổng số cách chọn 5 phiếu từ 27 phiếu là:
$$ C_{27}^5 = \frac{27!}{5!(27-5)!} = 80730 $$

Bước 2: Xác định các trường hợp thuận lợi
- Ta cần kiểm tra tính chất của bình phương các số chia hết cho 4.
- Bình phương của một số chẵn luôn chia hết cho 4.
- Bình phương của một số lẻ luôn có dạng $ 4k + 1 $.

Do đó, tổng bình phương của 5 số sẽ chia hết cho 4 nếu:
1. Tất cả 5 số đều là số chẵn.
2. 3 số là số chẵn và 2 số là số lẻ.
3. 1 số là số chẵn và 4 số là số lẻ.

Bước 3: Đếm số cách chọn các trường hợp thuận lợi
- Số cách chọn 5 số chẵn từ 13 số chẵn (2, 4, 6, ..., 26):
$$ C_{13}^5 = \frac{13!}{5!(13-5)!} = 1287 $$

- Số cách chọn 3 số chẵn từ 13 số chẵn và 2 số lẻ từ 14 số lẻ (1, 3, 5, ..., 27):
$$ C_{13}^3 \times C_{14}^2 = \left( \frac{13!}{3!(13-3)!} \right) \times \left( \frac{14!}{2!(14-2)!} \right) = 286 \times 91 = 26066 $$

- Số cách chọn 1 số chẵn từ 13 số chẵn và 4 số lẻ từ 14 số lẻ:
$$ C_{13}^1 \times C_{14}^4 = 13 \times \left( \frac{14!}{4!(14-4)!} \right) = 13 \times 1001 = 13013 $$

Tổng số cách chọn các trường hợp thuận lợi:
$$ 1287 + 26066 + 13013 = 40366 $$

Bước 4: Tính xác suất
$$ P = \frac{\text{Số cách chọn các trường hợp thuận lợi}}{\text{Tổng số cách chọn 5 phiếu}} = \frac{40366}{80730} = \frac{20183}{40365} $$

Bước 5: Tìm S = b - a
$$ S = 40365 - 20183 = 20182 $$

Đáp số: S = 20182

Câu 5. Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, luật chơi như sau: Trong một hộp có chứa 27 cái phiếu được đánh số từ 1 đến 27, người chơi được bốc thăm ngẫu nhiên 5 phiếu, nếu tổng bình phương các số...