giúp mình với

Câu 17: Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng K giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \sqrt{50 - 2x^2}$ quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng giới hạn của x: Ta cần tìm các giá trị của x sao cho $f(x)$ có nghĩa: \[ 50 - 2x^2 \geq 0 \implies 2x^2 \leq 50 \implies x^2 \leq 25 \implies -5 \leq x \leq 5 \] Vậy khoảng giới hạn của x là từ -5 đến 5. 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quanh trục Ox được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $a = -5$, $b = 5$, và $f(x) = \sqrt{50 - 2x^2}$. Do đó: \[ V = \pi \int_{-5}^{5} (\sqrt{50 - 2x^2})^2 \, dx = \pi \int_{-5}^{5} (50 - 2x^2) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta chia tích phân thành hai phần để dễ tính: \[ V = \pi \left( \int_{-5}^{5} 50 \, dx - \int_{-5}^{5} 2x^2 \, dx \right) \] Tính từng phần: \[ \int_{-5}^{5} 50 \, dx = 50 \int_{-5}^{5} 1 \, dx = 50 \left[ x \right]_{-5}^{5} = 50 (5 - (-5)) = 50 \times 10 = 500 \] \[ \int_{-5}^{5} 2x^2 \, dx = 2 \int_{-5}^{5} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-5}^{5} = 2 \left( \frac{5^3}{3} - \frac{(-5)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{125}{3} + \frac{125}{3} \right) = 2 \times \frac{250}{3} = \frac{500}{3} \] Kết hợp lại: \[ V = \pi \left( 500 - \frac{500}{3} \right) = \pi \left( \frac{1500}{3} - \frac{500}{3} \right) = \pi \left( \frac{1000}{3} \right) = \frac{1000}{3} \pi \] Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay K quanh trục Ox là $\frac{1000}{3} \pi$. Đáp án đúng là B. Câu18: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính thể tích của hai vật thể tròn xoay \( V_{(H)} \) và \( V_{(K)} \) và so sánh chúng. Bước 1: Tính thể tích \( V_{(H)} \) Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: \[ y = x + 2, \quad y = 0, \quad x = 1 \] Khi quay quanh trục Ox, thể tích của vật thể tròn xoay \( V_{(H)} \) được tính bằng công thức: \[ V_{(H)} = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = x + 2 \) và giới hạn tích phân từ \( x = -2 \) đến \( x = 1 \): \[ V_{(H)} = \pi \int_{-2}^{1} (x + 2)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{-2}^{1} (x + 2)^2 \, dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{1} \] \[ = \left( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 8 - 8 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 6 \right) - \left( \frac{-8}{3} \right) \] \[ = \frac{1}{3} + 6 + \frac{8}{3} \] \[ = \frac{1 + 18 + 8}{3} \] \[ = \frac{27}{3} \] \[ = 9 \] Do đó: \[ V_{(H)} = \pi \cdot 9 = 9\pi \] Bước 2: Tính thể tích \( V_{(K)} \) Hình phẳng (K) giới hạn bởi các đường: \[ y = x + 2, \quad y = 0, \quad x = 1 \] Khi quay quanh trục Ox, thể tích của vật thể tròn xoay \( V_{(K)} \) cũng được tính bằng công thức: \[ V_{(K)} = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = x + 2 \) và giới hạn tích phân từ \( x = -2 \) đến \( x = 1 \): \[ V_{(K)} = \pi \int_{-2}^{1} (x + 2)^2 \, dx \] Như đã tính ở trên: \[ V_{(K)} = 9\pi \] Bước 3: So sánh \( V_{(H)} \) và \( V_{(K)} \) Ta thấy rằng: \[ V_{(H)} = 9\pi \] \[ V_{(K)} = 9\pi \] Do đó: \[ V_{(H)} - V_{(K)} = 9\pi - 9\pi = 0 \] Kết luận Đáp án đúng là: D. \( V_{(H)} - V_{(K)} = 0 \) Câu 19: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x - 2 \). 2. Áp dụng điều kiện \( F(1) = 1 \) để xác định hằng số nguyên hàm. 3. Kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định. Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = 2x - 2 \) Nguyên hàm của \( f(x) = 2x - 2 \) là: \[ F(x) = \int (2x - 2) \, dx = x^2 - 2x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Áp dụng điều kiện \( F(1) = 1 \) Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + C = 1 \] \[ 1 - 2 + C = 1 \] \[ -1 + C = 1 \] \[ C = 2 \] Do đó, nguyên hàm cụ thể là: \[ F(x) = x^2 - 2x + 2 \] Bước 3: Kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định a) \( F(x) \) luôn xác định trên \( \mathbb{R} \) - Đúng vì \( F(x) = x^2 - 2x + 2 \) là một đa thức bậc hai, luôn xác định trên \( \mathbb{R} \). b) \( F(x) = x^2 - 2x \) - Sai vì \( F(x) = x^2 - 2x + 2 \), không phải \( x^2 - 2x \). c) \( F(x) > 0 \), với mọi \( x \in \mathbb{R} \) - Ta kiểm tra \( F(x) = x^2 - 2x + 2 \): \[ F(x) = (x - 1)^2 + 1 \] - Biểu thức \( (x - 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), do đó \( (x - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0 \). - Vậy \( F(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). d) \( F(-2) = 2 \) - Thay \( x = -2 \) vào \( F(x) \): \[ F(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 \] - Do đó, \( F(-2) = 10 \), không phải 2. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 20: a) Ta có $\int^1_0f(x)dx=\int^1_0(5x^4+4x-2)dx=(x^5+2x^2-2x)\bigg|^1_0=1.$ b) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=x^5+2x^2-2x+C.$ c) Nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ và thỏa $F(0)=2$ là $F(x)=x^5+2x^2-2x+2.$ d) $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa $F(1)=4$ thì $F(x)=x^5+2x^2-2x+3.$ Suy ra $F(3)=258.$ Câu 21: a) Đồ thị hàm số $y=x^2$ là một parabol có đỉnh tại gốc tọa độ, mở rộng ra phía trên và hai nhánh của nó nằm ở phần thứ nhất và thứ tư của mặt phẳng tọa độ. Đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ là một nửa đường parabol nằm ở phần thứ nhất của mặt phẳng tọa độ, bắt đầu từ điểm $(0,0)$ và mở rộng ra phía trên theo hướng tăng dần của $x$. Vì vậy, hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn bởi các đồ thị của hai hàm số này. b) Để tính diện tích hình phẳng được tô màu, ta cần tính diện tích giữa hai đồ thị từ $x=0$ đến $x=1$: \[ S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \] Ta thực hiện phép tính tích phân: \[ S = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} \] Thay cận vào: \[ S = \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 1^3 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 0^3 \right) \] \[ S = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0) \] \[ S = \frac{1}{3} \] c) Khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$ quanh trục Ox, ta có thể tính thể tích của vật tròn xoay bằng công thức: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left( (\sqrt{x})^2 - (x^2)^2 \right) \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^4) \, dx \] Ta thực hiện phép tính tích phân: \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{1} \] Thay cận vào: \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{5} \cdot 1^5 \right) - \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 0^2 - \frac{1}{5} \cdot 0^5 \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) - \pi (0 - 0) \] \[ V = \pi \left( \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{3}{10} \right) \] \[ V = \frac{3\pi}{10} \] d) Khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$ quanh trục Oy, ta có thể tính thể tích của vật tròn xoay bằng công thức: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left( (\sqrt{x})^2 - (x^2)^2 \right) \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^4) \, dx \] Ta thực hiện phép tính tích phân: \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{1} \] Thay cận vào: \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{5} \cdot 1^5 \right) - \pi \left( \frac{1}{2} \cdot 0^2 - \frac{1}{5} \cdot 0^5 \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) - \pi (0 - 0) \] \[ V = \pi \left( \frac{5}{10} - \frac{2}{10} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{3}{10} \right) \] \[ V = \frac{3\pi}{10} \] Đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Đáp số: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng