giải kgiupw vs ạ

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3;2)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (5;4)\) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 5t \\ y = 2 + 4t \end{array} \right. \] Ta thấy rằng phương án C đúng vì nó có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 5v \\ y = 2 + 4v \end{array} \right. \] Do đó, đáp án đúng là: C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 5v \\ y = 2 + 4v \end{array} \right.\) Đáp án: C. Câu 30. Để tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(-5, -5) \) và \( N(3, 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc \( m \) của đường thẳng: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-5)}{3 - (-5)} = \frac{1 + 5}{3 + 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \( M(-5, -5) \) với hệ số góc \( m = \frac{3}{4} \): Phương trình đường thẳng có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Thay \( m = \frac{3}{4} \), \( x_1 = -5 \), và \( y_1 = -5 \): \[ y + 5 = \frac{3}{4}(x + 5) \] 3. Rút gọn phương trình: Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4(y + 5) = 3(x + 5) \] \[ 4y + 20 = 3x + 15 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 4y - 3x + 20 - 15 = 0 \] \[ 4y - 3x + 5 = 0 \] Đổi dấu để phương trình có dạng tổng quát: \[ -3x + 4y + 5 = 0 \] hoặc \[ 3x - 4y - 5 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(-5, -5) \) và \( N(3, 1) \) là: \[ \boxed{3x - 4y - 5 = 0} \] Câu 31. Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(6;6) \) và \( B(-3;0) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (-3 - 6, 0 - 6) = (-9, -6) \] 2. Chọn một điểm trên đường thẳng: Ta chọn điểm \( A(6, 6) \). 3. Lập phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M_0(x_0, y_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{d}(a, b) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Thay \( M_0(6, 6) \) và \( \vec{d}(-9, -6) \) vào phương trình trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 9t \\ y = 6 - 6t \end{array} \right. \] 4. Kiểm tra đáp án: Ta thấy rằng phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(6;6) \) và \( B(-3;0) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 9t \\ y = 6 - 6t \end{array} \right. \] So sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 6 + 2t \\ y = 6 - 3t \end{array} \right. \) - Đáp án B: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 2s \\ y = 2 + 3s \end{array} \right. \) - Đáp án C: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 6 + 3k \\ y = 6 + 2k \end{array} \right. \) - Đáp án D: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -3 - 3v \\ y = 2v \end{array} \right. \) Ta thấy rằng đáp án D đúng vì: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -3 - 3v \\ y = 2v \end{array} \right. \] Khi \( v = -1 \), ta có \( x = -3 - 3(-1) = 0 \) và \( y = 2(-1) = -2 \), đây là điểm nằm trên đường thẳng. Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(6;6) \) và \( B(-3;0) \) là: \[ \boxed{D.\left\{\begin{array}{l}x = -3 - 3v \\ y = 2v\end{array}\right.} \] Câu 32. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB được tính bằng công thức: \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \] - Thay tọa độ của A và B vào công thức: \[ M\left(\frac{6 + 2}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right) = M\left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) = M(4, 1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB: - Vectơ AB được xác định bởi: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - 6, -2 - 4) = (-4, -6) \] - Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là vectơ vuông góc với \(\overrightarrow{AB}\). Một vectơ pháp tuyến có thể là: \[ \vec{n} = (6, -4) \] 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trung trực: - Đường thẳng trung trực đi qua trung điểm M và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\). Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: \[ a(x - x_M) + b(y - y_M) = 0 \] - Thay \(a = 6\), \(b = -4\), \(x_M = 4\), và \(y_M = 1\) vào phương trình: \[ 6(x - 4) - 4(y - 1) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ 6x - 24 - 4y + 4 = 0 \] \[ 6x - 4y - 20 = 0 \] - Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 3x - 2y - 10 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ \boxed{3x - 2y - 10 = 0} \] Đáp án đúng là: A. \(3x - 2y - 10 = 0\). Câu 33. Để xác định góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần tính cosin của góc này. Công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng được cho bởi: \[ \cos \varphi = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}} \right| \] Trong đó: - $\Delta_1: x + 2y - 3 = 0$ có $A_1 = 1$, $B_1 = 2$ - $\Delta_2: -4x - 2y + 13 = 0$ có $A_2 = -4$, $B_2 = -2$ Ta thay các giá trị này vào công thức: \[ \cos \varphi = \left| \frac{(1)(-4) + (2)(-2)}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}} \right| \] Tính từng phần: \[ A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(-4) + (2)(-2) = -4 - 4 = -8 \] \[ \sqrt{A_1^2 + B_1^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ \sqrt{A_2^2 + B_2^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Do đó: \[ \cos \varphi = \left| \frac{-8}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{-8}{2 \cdot 5} \right| = \left| \frac{-8}{10} \right| = \left| -\frac{4}{5} \right| = \frac{4}{5} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\cos \varphi = \frac{4}{5}$. Câu 34. Để tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng. Đường thẳng $\Delta_1$ có dạng tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -3 - 6t \\ y = 3t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{d}_1 = (-6, 3)$. Đường thẳng $\Delta_2$ có dạng tổng quát: \[ x + 2y - 7 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của $\Delta_2$ là $\vec{n}_2 = (1, 2)$. Bây giờ, ta tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{d}_1$ và $\vec{n}_2$. Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (u_1, u_2)$ và $\vec{v} = (v_1, v_2)$ là: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{d}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-6) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0 \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\vec{d}_1| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{0}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{0}{15} = 0 \] Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng là: \[ \cos \varphi = 0 \] Đáp án đúng là: B. $\cos \varphi = 0$. Câu 35. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(1; -2) \) đến đường thẳng \( \Delta: x + 2y - 3 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d(A, \Delta) = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( (x_1, y_1) \) là tọa độ của điểm \( A \), tức là \( (1, -2) \). - \( ax + by + c = 0 \) là phương trình của đường thẳng \( \Delta \), ở đây \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = -3 \). Bước 1: Thay các giá trị vào công thức: \[ d(A, \Delta) = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \] Bước 2: Tính toán biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: \[ |1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) - 3| = |1 - 4 - 3| = |-6| = 6 \] Bước 3: Tính căn bậc hai ở mẫu: \[ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Bước 4: Kết hợp lại để tính khoảng cách: \[ d(A, \Delta) = \frac{6}{\sqrt{5}} \] Bước 5: Racionalize mẫu số (nếu cần): \[ d(A, \Delta) = \frac{6}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \( \Delta \) là: \[ d(A, \Delta) = \frac{6\sqrt{5}}{5} \] Đáp án đúng là: A. \( d(A, \Delta) = \frac{6\sqrt{5}}{5} \). Câu 36. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra các hệ số của chúng. Phương trình của \(d_1\) là: \[ 2x - \sqrt{2}y - 1 = 0 \] Phương trình của \(d_2\) là: \[ -\sqrt{2}x + y - 2 = 0 \] Ta viết lại phương trình của \(d_2\) dưới dạng: \[ y = \sqrt{2}x + 2 \] Bây giờ, ta so sánh các hệ số của \(d_1\) và \(d_2\): Phương trình \(d_1\) có dạng: \[ 2x - \sqrt{2}y - 1 = 0 \] Từ đây, ta có: \[ y = \frac{2}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ y = \sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Phương trình \(d_2\) có dạng: \[ y = \sqrt{2}x + 2 \] So sánh các hệ số: - Hệ số góc của \(d_1\) là \(\sqrt{2}\) - Hệ số góc của \(d_2\) cũng là \(\sqrt{2}\) Như vậy, hai đường thẳng có cùng hệ số góc, nhưng các đoạn thẳng cắt trục \(Oy\) khác nhau (\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(2\)). Do đó, hai đường thẳng này song song với nhau. Đáp án đúng là: A. song song. Câu 37. Phương trình của đường tròn có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, trong đó tâm của đường tròn là $I(a, b)$ và bán kính là $R$. Trong bài toán này, phương trình của đường tròn là $(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5$. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn: \[ (x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = (\sqrt{5})^2 \] Từ đây, ta thấy rằng tâm của đường tròn là $I(-1, 3)$ và bán kính là $R = \sqrt{5}$. Do đó, đáp án đúng là: A. $I(-1; 3), R = \sqrt{5}$. Câu 38. Để tìm phương trình của đường tròn tâm \( I(2, -3) \) và đi qua điểm \( A(2, 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của đường tròn: Bán kính \( R \) của đường tròn là khoảng cách từ tâm \( I \) đến điểm \( A \). Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \[ R = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2} \] Thay tọa độ của \( I \) và \( A \): \[ R = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \] 2. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn tâm \( (a, b) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Thay \( a = 2 \), \( b = -3 \) và \( R = 4 \): \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \] Vậy phương trình của đường tròn là: \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \] Do đó, đáp án đúng là: D. $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. Câu 39. Để tìm tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh. Phương trình ban đầu: \[ x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0 \] Bước 2: Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 3 = 0 \] Bước 3: Hoàn chỉnh bình phương cho mỗi nhóm: \[ (x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 4y + 4 - 4) + 3 = 0 \] \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 3 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 2 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2 \] Bước 4: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), ta nhận thấy: \[ a = 1, \quad b = -2, \quad R^2 = 2 \] Do đó, tâm của đường tròn là \(I(1, -2)\) và bán kính là \(R = \sqrt{2}\). Vậy đáp án đúng là: A. \(I(1, -2), R = \sqrt{2}\). Câu 40. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0\) tại điểm \((-2, 1)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn. Ta viết lại phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn: \[ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0 \] \[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 1 + 9 - 5 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5 \] Tâm của đường tròn là \(I(-1, 3)\) và bán kính \(r = \sqrt{5}\). Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại điểm \((-2, 1)\) là vectơ từ tâm \(I(-1, 3)\) đến điểm tiếp xúc \((-2, 1)\): \[ \overrightarrow{IP} = (-2 - (-1), 1 - 3) = (-1, -2) \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Trong đó, \((a, b)\) là vectơ pháp tuyến và \((x_0, y_0)\) là tọa độ điểm tiếp xúc. Thay \((a, b) = (-1, -2)\) và \((x_0, y_0) = (-2, 1)\) vào phương trình: \[ -1(x + 2) - 2(y - 1) = 0 \] \[ -x - 2 - 2y + 2 = 0 \] \[ -x - 2y = 0 \] \[ x + 2y = 0 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \((-2, 1)\) là: \[ x + 2y = 0 \] Đáp án đúng là: D. \(x + 2y = 0\).