Giải hộ mình này với các bạn

Câu 1: Để kiểm tra cặp số nào là nghiệm của bất phương trình \( x + 2y > 0 \), ta lần lượt thay các cặp số vào bất phương trình và kiểm tra xem bất phương trình có đúng hay không. - Cặp số \( A.~(0;0) \): Thay \( x = 0 \) và \( y = 0 \) vào bất phương trình: \[ 0 + 2 \cdot 0 = 0 \quad (\text{sai}) \] Vậy cặp số \( (0;0) \) không phải là nghiệm của bất phương trình. - Cặp số \( B.~(1;-1) \): Thay \( x = 1 \) và \( y = -1 \) vào bất phương trình: \[ 1 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 = -1 \quad (\text{sai}) \] Vậy cặp số \( (1;-1) \) không phải là nghiệm của bất phương trình. - Cặp số \( C.~(-1;2) \): Thay \( x = -1 \) và \( y = 2 \) vào bất phương trình: \[ -1 + 2 \cdot 2 = -1 + 4 = 3 \quad (\text{đúng}) \] Vậy cặp số \( (-1;2) \) là nghiệm của bất phương trình. - Cặp số \( D.~(-2;1) \): Thay \( x = -2 \) và \( y = 1 \) vào bất phương trình: \[ -2 + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \quad (\text{sai}) \] Vậy cặp số \( (-2;1) \) không phải là nghiệm của bất phương trình. Do đó, cặp số \( C.~(-1;2) \) là nghiệm của bất phương trình \( x + 2y > 0 \). Đáp án: \( C.~(-1;2) \). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \( A = 2\sin\alpha - \cos\alpha \) với điều kiện \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) và \(\alpha\) là góc tù. 1. Tìm \(\cos\alpha\): Vì \(\alpha\) là góc tù, nên \(\cos\alpha < 0\). Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) vào, ta có: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] \[ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \] (Chọn giá trị âm vì \(\alpha\) là góc tù). 2. Tính giá trị của \( A \): Thay \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) và \(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\) vào biểu thức \( A \): \[ A = 2\sin\alpha - \cos\alpha = 2 \times \frac{4}{5} - \left(-\frac{3}{5}\right) \] \[ A = \frac{8}{5} + \frac{3}{5} = \frac{11}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \(\frac{11}{5}\). Do đó, đáp án đúng là \( D. \frac{11}{5} \). Câu 3: Để xác định khẳng định nào sai, ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết bằng cách sử dụng quy tắc cộng vectơ. Khẳng định A: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). - Theo quy tắc cộng vectơ, nếu ta đi từ điểm A đến điểm B, sau đó từ điểm B đến điểm C, thì tổng của hai vectơ này sẽ là vectơ từ A đến C. Do đó, khẳng định này là đúng. Khẳng định B: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\). - Xét vectơ \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\): Vectơ \(\overrightarrow{CB}\) là vectơ ngược hướng với \(\overrightarrow{BC}\), do đó \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}\). - Theo quy tắc vectơ, \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\) là không đúng, vì \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\) chỉ khi B, C, A thẳng hàng và B nằm giữa A và C, điều này không phải lúc nào cũng đúng. - Do đó, khẳng định này là sai. Khẳng định C: \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}\). - Xét vectơ \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}\): Vectơ \(\overrightarrow{CA}\) là vectơ ngược hướng với \(\overrightarrow{AC}\), do đó \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}\). - Theo quy tắc vectơ, \(-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}\) là đúng, vì \(-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}\) và \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}\). - Do đó, khẳng định này là đúng. Khẳng định D: \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}\). - Xét vectơ \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC}\): Vectơ \(\overrightarrow{CB}\) là vectơ ngược hướng với \(\overrightarrow{BC}\), do đó \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}\). - Theo quy tắc vectơ, \(-\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}\) là đúng, vì \(-\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}\) và \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}\). - Do đó, khẳng định này là đúng. Tóm lại, khẳng định sai là khẳng định B: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên điều kiện $MA = 2MB$. 1. Mệnh đề A: $\overrightarrow{MA} = -2\overrightarrow{MB}$. Ta có $MA = 2MB$, do đó $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB}$. Mệnh đề này sai vì dấu của vector không đúng. 2. Mệnh đề B: $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Ta có $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ $2:1$, tức là $AM = \frac{2}{3}AB$. Do đó, $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Mệnh đề này đúng. 3. Mệnh đề C: $\overrightarrow{AM} = -2\overrightarrow{MB}$. Ta có $AM = 2MB$, do đó $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$. Mệnh đề này sai vì dấu của vector không đúng. 4. Mệnh đề D: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{MB}$. Ta có $AB = AM + MB = 2MB + MB = 3MB$. Do đó, $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{MB}$. Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề A và C đều sai, nhưng theo yêu cầu chỉ chọn một mệnh đề sai, ta có thể chọn mệnh đề A: $\overrightarrow{MA} = -2\overrightarrow{MB}$. Câu 5: Để xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \alpha \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \] So sánh hai biểu thức trên, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \alpha = -|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \] Vì $|\overrightarrow{a}| \neq 0$ và $|\overrightarrow{b}| \neq 0$, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho $|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$: \[ \cos \alpha = -1 \] Góc $\alpha$ có $\cos \alpha = -1$ là góc $180^\circ$. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $180^\circ$. Vậy đáp án đúng là: $D.~\alpha=180^0.$ Câu 6: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về trọng tâm của tam giác và cách biểu diễn vectơ. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, với tỉ lệ \( 2:1 \) (phần gần đỉnh dài gấp đôi phần gần cạnh đối diện). 1. Xác định vectơ trung tuyến: - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MC} \). - Vectơ trung tuyến từ \( B \) đến \( M \) là \( \overrightarrow{BM} \). 2. Biểu diễn vectơ trọng tâm: - Trọng tâm \( G \) chia đường trung tuyến \( BM \) theo tỉ lệ \( 2:1 \), nghĩa là: \[ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BM} \] 3. Biểu diễn vectơ \( \overrightarrow{BM} \): - Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), ta có: \[ \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) \] - Do đó: \[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2}\overrightarrow{A} - \frac{1}{2}\overrightarrow{C} \] 4. Tính \( \overrightarrow{BG} \): - Thay \( \overrightarrow{BM} \) vào công thức của \( \overrightarrow{BG} \): \[ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{B} - \frac{1}{2}\overrightarrow{A} - \frac{1}{2}\overrightarrow{C}\right) \] - Rút gọn: \[ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{B} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{C} \] - Biểu diễn lại: \[ \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{B} - \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) \] 5. Chọn đáp án đúng: - Biểu diễn \( \overrightarrow{BG} \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \] - Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~\overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}). \] Vậy, đáp án đúng là \( D \). Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm khoảng giá trị của \( x \) sao cho tam thức bậc hai \( f(x) = -x^2 + 3x - 2 \) nhận giá trị không âm, tức là \( f(x) \geq 0 \). Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \). Phương trình \( -x^2 + 3x - 2 = 0 \) có thể viết lại thành: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Giải phương trình này bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0 \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 2: Xác định dấu của tam thức \( f(x) \) trong các khoảng xác định bởi các nghiệm. Ta có các khoảng cần kiểm tra là: \[ (-\infty, 1), \quad (1, 2), \quad (2, +\infty) \] Kiểm tra dấu của \( f(x) \) tại các điểm trong mỗi khoảng: - Khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f(0) = -(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \] \( f(x) < 0 \) - Khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ f(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) - 2 = -2.25 + 4.5 - 2 = 0.25 \] \( f(x) > 0 \) - Khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f(3) = -(3)^2 + 3(3) - 2 = -9 + 9 - 2 = -2 \] \( f(x) < 0 \) Bước 3: Kết luận khoảng giá trị của \( x \) sao cho \( f(x) \geq 0 \). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( f(x) \geq 0 \) khi và chỉ khi \( x \) nằm trong khoảng \([1, 2]\). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x \in [1; 2] \] Câu 8: Để tìm đỉnh của parabol \( (P): y = 3x^2 - 2x + 1 \), ta sử dụng công thức tính tọa độ đỉnh của parabol có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). Tọa độ đỉnh \( I \) của parabol được xác định bởi: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Với \( a = 3 \) và \( b = -2 \), ta có: \[ x = -\frac{-2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Thay giá trị \( x = \frac{1}{3} \) vào phương trình của parabol để tìm \( y \): \[ y = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 \] \[ = 3 \times \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ = \frac{3}{9} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 \] \[ = -\frac{1}{3} + 1 \] \[ = \frac{2}{3} \] Vậy tọa độ đỉnh của parabol là \( I\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~I\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right) \). Câu 9: Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, ta cần xem xét các đặc điểm sau: 1. Dạng của hàm số bậc hai: Hàm số bậc hai có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). 2. Chiều biến thiên: - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \) tăng từ \(-\infty\) đến \(+\infty\), giá trị của \( y \) giảm từ \(+\infty\) đến \(+\infty\). Điều này cho thấy hệ số \( a \) phải âm (vì đồ thị là một parabol úp). 3. Đỉnh của parabol: - Đỉnh của parabol là điểm cực trị, ở đây là \(-\frac{1}{2}\) với giá trị \( y = \frac{21}{4} \). 4. Tính toán đỉnh: - Đỉnh của hàm số bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \) có hoành độ \( x = -\frac{b}{2a} \). - Ở đây, hoành độ đỉnh là \(-\frac{1}{2}\), do đó \(-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}\). 5. Tính giá trị tại đỉnh: - Giá trị tại đỉnh là \( y = \frac{21}{4} \). - Sử dụng công thức giá trị tại đỉnh: \( y = -\frac{b^2}{4a} + c = \frac{21}{4} \). 6. Xét các đáp án: - Đáp án \( B: y = -3x^2 + 3x + 6 \). - Kiểm tra: - \( a = -3 \), \( b = 3 \), \( c = 6 \). - Hoành độ đỉnh: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \times (-3)} = -\frac{1}{2} \). - Giá trị tại đỉnh: \( y = -\frac{3^2}{4 \times (-3)} + 6 = \frac{9}{12} + 6 = \frac{21}{4} \). Vậy hàm số phù hợp với bảng biến thiên là \( y = -3x^2 + 3x + 6 \). Đáp án đúng là \( B \). Câu 10: Để giải phương trình \(\sqrt{2x^2 - 5x - 9} = x - 1\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(2x^2 - 5x - 9 \geq 0\). - Biểu thức bên phải phải không âm: \(x - 1 \geq 0\) suy ra \(x \geq 1\). 2. Giải bất phương trình \(2x^2 - 5x - 9 \geq 0\): - Tìm nghiệm của phương trình \(2x^2 - 5x - 9 = 0\): \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 25 + 72 = 97 \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{4} \] - Các nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{97}}{4}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{97}}{4} \] - Vì \(2x^2 - 5x - 9\) là một parabol mở lên, nên \(2x^2 - 5x - 9 \geq 0\) khi \(x \leq x_1\) hoặc \(x \geq x_2\). 3. Kết hợp điều kiện \(x \geq 1\): - Ta thấy \(x_1 < 1\) và \(x_2 > 1\). Do đó, điều kiện xác định cuối cùng là \(x \geq x_2\). 4. Bình phương hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{2x^2 - 5x - 9})^2 = (x - 1)^2 \] \[ 2x^2 - 5x - 9 = x^2 - 2x + 1 \] 5. Rút gọn phương trình: \[ 2x^2 - 5x - 9 = x^2 - 2x + 1 \] \[ 2x^2 - 5x - 9 - x^2 + 2x - 1 = 0 \] \[ x^2 - 3x - 10 = 0 \] 6. Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 3x - 10 = 0\): \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 7}{2} \] \[ x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \] 7. Kiểm tra nghiệm trong điều kiện xác định: - \(x = 5\) thỏa mãn điều kiện \(x \geq x_2\). - \(x = -2\) không thỏa mãn điều kiện \(x \geq x_2\). Do đó, phương trình \(\sqrt{2x^2 - 5x - 9} = x - 1\) có duy nhất một nghiệm là \(x = 5\). Đáp án: B. 1.