Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 1. a) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y = -1 \\ 3x + 2y = 12 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2 và nhân phương trình thứ hai với 3: \[ \left\{ \begin{array}{l} 8x - 6y = -2 \\ 9x + 6y = 36 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (8x - 6y) + (9x + 6y) = -2 + 36 \] \[ 17x = 34 \] \[ x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình \( 4x - 3y = -1 \): \[ 4(2) - 3y = -1 \] \[ 8 - 3y = -1 \] \[ -3y = -9 \] \[ y = 3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, 3) \). b) Rút gọn biểu thức: \[ A = \left( \frac{x - 3\sqrt{x} + 2}{x - 4} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \right) \left( \frac{x\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} + \sqrt{x} + 4 \right) \] Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4 \) Phân tích tử số của phân thức đầu tiên: \[ x - 3\sqrt{x} + 2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) \] Do đó: \[ \frac{x - 3\sqrt{x} + 2}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \right) \left( \frac{x\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} + \sqrt{x} + 4 \right) \] Tính hiệu của hai phân thức: \[ \frac{\sqrt{x} - 1 - (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \left( \frac{x\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} + \sqrt{x} + 4 \right) \] Phân tích tử số của phân thức thứ hai: \[ x\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \] Do đó: \[ \frac{x\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = x - \sqrt{x} + 1 \] Biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \left( x - \sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} + 4 \right) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} (x + 5) \] Rút gọn: \[ A = \frac{x + 5}{\sqrt{x} + 2} \] c) Tìm \( m \) để hai đường thẳng \( (d): y = 2x + m + 1 \) và \( (d'): y = -3x + m - 2 \) cắt nhau tại điểm trên trục hoành. Điểm trên trục hoành có tọa độ \( (x, 0) \). Thay \( y = 0 \) vào phương trình của hai đường thẳng: \[ 0 = 2x + m + 1 \quad \text{(1)} \] \[ 0 = -3x + m - 2 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình (1): \[ 2x + m + 1 = 0 \] \[ m = -2x - 1 \] Từ phương trình (2): \[ -3x + m - 2 = 0 \] \[ m = 3x + 2 \] Bằng nhau: \[ -2x - 1 = 3x + 2 \] \[ -5x = 3 \] \[ x = -\frac{3}{5} \] Thay \( x = -\frac{3}{5} \) vào \( m = -2x - 1 \): \[ m = -2 \left( -\frac{3}{5} \right) - 1 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5} \] Vậy \( m = \frac{1}{5} \). Câu 2. a) Với $m=1$, phương trình trở thành: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \). Ta tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Do đó: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] b) Để phương trình \( x^2 - (2m-1)x + m^2 - m - 2 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 > x_2 \) thỏa mãn \( x_1 + \frac{1}{x_2} = 5 \), ta làm như sau: Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m - 1 \] \[ x_1 x_2 = m^2 - m - 2 \] Từ \( x_1 + \frac{1}{x_2} = 5 \), nhân cả hai vế với \( x_2 \): \[ x_1 x_2 + 1 = 5x_2 \] \[ m^2 - m - 2 + 1 = 5x_2 \] \[ m^2 - m - 1 = 5x_2 \] Bây giờ, ta thay \( x_2 \) vào phương trình \( x_1 + x_2 = 2m - 1 \): \[ x_1 = 2m - 1 - x_2 \] Thay \( x_1 \) vào \( x_1 x_2 = m^2 - m - 2 \): \[ (2m - 1 - x_2) x_2 = m^2 - m - 2 \] \[ 2mx_2 - x_2 - x_2^2 = m^2 - m - 2 \] Biến đổi phương trình này: \[ x_2^2 - (2m - 1)x_2 + m^2 - m - 2 = 0 \] So sánh với phương trình ban đầu, ta thấy: \[ x_2^2 - (2m - 1)x_2 + m^2 - m - 2 = 0 \] Do đó, \( x_2 \) là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta đã biết \( x_2 = \frac{m^2 - m - 1}{5} \). Thay vào phương trình ban đầu: \[ \left( \frac{m^2 - m - 1}{5} \right)^2 - (2m - 1)\left( \frac{m^2 - m - 1}{5} \right) + m^2 - m - 2 = 0 \] Giải phương trình này sẽ cho ta giá trị của \( m \). Ta thử nghiệm các giá trị \( m \) để tìm nghiệm phù hợp. Kết luận: a) Nghiệm của phương trình khi \( m = 1 \) là \( x_1 = 2 \) và \( x_2 = -1 \). b) Để phương trình có hai nghiệm \( x_1 > x_2 \) thỏa mãn \( x_1 + \frac{1}{x_2} = 5 \), ta cần giải phương trình \( \left( \frac{m^2 - m - 1}{5} \right)^2 - (2m - 1)\left( \frac{m^2 - m - 1}{5} \right) + m^2 - m - 2 = 0 \) để tìm giá trị của \( m \). Câu 3. Gọi số học sinh nam là 2x (em, điều kiện: x > 0) Gọi số học sinh nữ là 8y (em, điều kiện: y > 0) Theo đề bài, số học sinh nam và nữ đăng ký thi đấu tạo thành cặp là $\frac{1}{2} \times 2x = x$ (em nam) và $\frac{5}{8} \times 8y = 5y$ (em nữ). Vì mỗi cặp gồm một nam và một nữ nên ta có: \[ x = 5y \] Số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh, tức là: \[ 2x + 8y - (x + 5y) = 16 \] \[ 2x + 8y - x - 5y = 16 \] \[ x + 3y = 16 \] Thay \( x = 5y \) vào phương trình trên: \[ 5y + 3y = 16 \] \[ 8y = 16 \] \[ y = 2 \] Vậy \( x = 5y = 5 \times 2 = 10 \) Số học sinh nam là: \[ 2x = 2 \times 10 = 20 \text{ (em)} \] Số học sinh nữ là: \[ 8y = 8 \times 2 = 16 \text{ (em)} \] Tổng số học sinh trong lớp là: \[ 20 + 16 = 36 \text{ (em)} \] Đáp số: 36 học sinh Câu 4. a) Ta có $\widehat{AND}=\widehat{AMD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow ANHD$ nội tiếp (cùng chắn cung ND) $\Rightarrow \widehat{HND}=\widehat{HAD}$ (cùng chắn cung HD) Mặt khác $\widehat{HAD}+\widehat{DAC}=90^\circ$ (vì $\widehat{BAC}=90^\circ)$ $\Rightarrow \widehat{HND}+\widehat{DAC}=90^\circ$ $\Rightarrow \widehat{HNC}+\widehat{DHC}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$ $\Rightarrow HDNC$ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^\circ) b) Ta có $\widehat{AMN}=\widehat{AND}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow MN\perp AD$ $\Rightarrow AM=AN$ (chord bị vuông góc với đường kính) $\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (chia cả tử và mẫu cho AN) $\Rightarrow AM.AB=AN.AC$