Cho đường tròn (O) có 2 đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC.

a) Chứng minh 4 điểm O, M, H, B cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh và ME . MH = BE . HC.
c) Gọi P là giao điểm thứ hai của (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh 3 điểm C, P, E là 3 điểm thẳng hàng.

Question

Cho đường tròn (O) có 2 đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC.

a) Chứng minh 4 điểm O, M, H, B cùng thuộc 1 đường tròn.
    b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh và ME . MH = BE . HC.
    c) Gọi P là giao điểm thứ hai của (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh 3 điểm C, P, E là 3 điểm thẳng hàng.

Accepted Answer

1) Xét tứ giác $B O M H$ có:

$$
\begin{aligned}
& \widehat{M H B}=90^{\circ}(M H \perp B C) \
& \widehat{M O B}=90^{\circ}(A B \perp M N) \
& \Rightarrow \widehat{M H B}+\widehat{M O B}=180^{\circ}
\end{aligned}
$$mà 2 góc ở vị trí đối nhau $\Rightarrow ext { tứ giác } B O M H ext { nội tiếp }$

2) Xét $(O)$ có: $O M=O B$ (cùng bằng bán kính)

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \Delta O M B ext { cân tại } O \
& \Rightarrow \widehat{O M B}=\widehat{O B M}
\end{aligned}
$$mà $\widehat{O M B}=\widehat{O H B}$ (tứ giác BOMH nội tiếp)$$
\begin{aligned}
& \widehat{O B M}=\widehat{M H O} ext { (tứ giác BOMH nội tiếp) } \
& \Rightarrow \widehat{O H B}=\widehat{M H O}
\end{aligned}
$$

$\Rightarrow O H$ là tia phân giác của $\widehat{M H B}$

$\Rightarrow \frac{M E}{B E}=\frac{M H}{H B} ext { (tính chất đường phân giác) }$

$\widehat{A M B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \widehat{A M B}=90^{\circ} \Rightarrow B M \perp A M \Rightarrow B M \perp A C \Rightarrow \widehat{B M C} \
& =90^{\circ} \
& \Rightarrow riangle B M C ext { vuông tại } M
\end{aligned}
$$

lại có đường cao $M H \Rightarrow M H^2=H B . H C$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow \frac{M H}{H B}=\frac{H C}{M H}$
Từ (1) (2) $\Rightarrow \frac{M E}{B E}=\frac{H C}{M H} \Rightarrow M E . M H=B E . H C$

c) $\widehat{M H C}=90^{\circ} \Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp $ riangle M H C$ có đường kính $M C$
$\Rightarrow \widehat{M K C}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$M N$ là đường kính của $(O) \Rightarrow \widehat{M K N}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \widehat{M K C}+\widehat{M K N}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} \
& \Rightarrow C, K, N ext { thẳng hàng }
\end{aligned}
$$

Xét $ riangle M H C$ và $ riangle B M C$ có:

$\widehat{M H C}=\widehat{B M C}=90^{\circ}$

$\widehat{B C M}$ : chung

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \Delta M H C \backsim \Delta B M C ext { (g.g) } \
& \Rightarrow \frac{H C}{M C}=\frac{M C}{B M}
\end{aligned}
$$

Xét $ riangle \mathrm{MBN}$ có: $O M=O N$ (cùng bằng bán kính); $B O \perp M N$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \Delta M B N c a ̂ n t a ̣ i B \Rightarrow B M=B N \
& \Rightarrow \frac{H C}{M C}=\frac{M C}{B N} \
& ext { mà } \frac{M E}{B E}=\frac{H C}{M H} \Rightarrow \frac{M E}{B E}=\frac{M C}{B N} \
& ext { mà } \widehat{E B N}=\widehat{E M C}=90^{\circ} \
& \Rightarrow \Delta M C E \backsim \Delta B N E ext { (c.g.c) } \
& \Rightarrow \widehat{M E C}=\widehat{B E N} \
& ext { mà } \widehat{M E C}+\widehat{B E C}=180^{\circ} ext { (kề bù) } \
& \Rightarrow \widehat{B E N}+\widehat{B E C}=180^{\circ} \
& \Rightarrow M, E, C ext { thẳng hàng } \
& ext { lại có } C, K, N ext { thẳng hàng } \
& \Rightarrow M, E, C, K, N ext { thẳng hàng } \
& \Rightarrow 3 ext { điểm } C, K, E ext { thẳng hàng }
\end{aligned}
$$

Cho đường tròn (O) có 2 đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC. a) Chứng minh 4 điểm O,...