Cho tam giác MNP vuông tại M có đường cao MH

a. Chứng minh tam giác MNP đồng dạng tam giác HNM

b. Gọi D và E lần lượt là trung điểm MN và NP. chứng minh HP.NP=4DE²

Question

Cho tam giác MNP vuông tại M có đường cao MH

a. Chứng minh tam giác MNP đồng dạng tam giác HNM

b. Gọi D và E lần lượt là trung điểm MN và NP. chứng minh HP.NP=4DE²

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a. Chứng minh tam giác MNP đồng dạng với tam giác HNM:

- Tam giác MNP vuông tại M, do đó góc $ \angle MNP = 90^\circ $.
- Đường cao MH được vẽ từ M đến NP, do đó góc $ \angle HNM = 90^\circ $.
- Vì $ \angle MNP = \angle HNM = 90^\circ $, hai tam giác MNP và HNM có một góc chung là $ \angle N $.
- Do đó, tam giác MNP đồng dạng với tam giác HNM theo trường hợp góc - góc (AA).

b. Chứng minh $ HP \cdot NP = 4DE^2 $:

- Gọi D và E lần lượt là trung điểm của MN và NP.
- Vì D và E là trung điểm, nên $ MD = \frac{1}{2}MN $ và $ NE = \frac{1}{2}NP $.
- Xét tam giác MNP và tam giác DEP:
  - DE là đường trung bình của tam giác MNP, do đó $ DE = \frac{1}{2}MP $.
- Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
  - $ DE = \frac{1}{2}MP $.
- Từ đồng dạng tam giác MNP và HNM, ta có:
  - $ \frac{HP}{HM} = \frac{NP}{MP} $.
- Suy ra: $ HP \cdot MP = HM \cdot NP $.
- Vì DE là đường trung bình, nên $ MP = 2DE $.
- Thay vào phương trình trên, ta có:
  - $ HP \cdot 2DE = HM \cdot NP $.
- Do đó, $ HP \cdot NP = 4DE^2 $.

Vậy, ta đã chứng minh được $ HP \cdot NP = 4DE^2 $.