Chứng minh

Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a: Tam giác SBC cân tại B. - Để tam giác SBC cân tại B, ta cần có SB = SC. - Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta không có bất kỳ thông tin nào về độ dài SB và SC. Do đó, ta không thể kết luận rằng SB = SC. - Vậy mệnh đề này là sai. Mệnh đề b: AH vuông góc với mặt phẳng (SBC). - AH là đường cao hạ từ A xuống SB và SC, do đó AH vuông góc với SB và SC. - Nếu AH vuông góc với hai đường thẳng SB và SC trong mặt phẳng (SBC), thì AH sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). - Do đó, AH vuông góc với mặt phẳng (SBC). - Vậy mệnh đề này là đúng. Mệnh đề c: $(SC, HK) = 90^\circ$. - HK là đường vuông góc hạ từ H xuống SC, do đó HK vuông góc với SC. - Điều này có nghĩa là góc giữa SC và HK là $90^\circ$. - Vậy mệnh đề này là đúng. Mệnh đề d: Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó $(AC, AD) = 90^\circ$. - Ta cần kiểm tra xem AC có vuông góc với AD hay không. - Vì AH vuông góc với mặt phẳng (SBC), nên AH vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC), bao gồm cả BC và SC. - HK là đường vuông góc hạ từ H xuống SC, do đó HK cũng nằm trong mặt phẳng (SBC). - Khi HK cắt BC tại D, ta có AD nằm trong mặt phẳng (ABC). - Vì AH vuông góc với mặt phẳng (SBC), nên AH cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả AC và AD. - Do đó, AC vuông góc với AD. - Vậy mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Sai - Mệnh đề b: Đúng - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Đúng Đáp án: Mệnh đề a: Sai Mệnh đề b: Đúng Mệnh đề c: Đúng Mệnh đề d: Đúng Câu 5. a) Đúng vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) suy ra OA vuông góc với BC. Tương tự OB vuông góc với AC và OC vuông góc với AB. b) Đúng vì OA vuông góc với BC nên ta có $\widehat{BAC}=90^\circ-\widehat{OCA}$ và $\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{OBA}$. Suy ra $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc nhọn. Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn. c) Sai vì H là trực tâm của tam giác ABC. d) Đúng vì ta có $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$.