Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài tập 10: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần biết rằng vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (-2; -5)\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ vuông góc với vectơ pháp tuyến của nó. Ta có thể tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) bằng cách lấy vectơ pháp tuyến và đổi chỗ hai thành phần lại với nhau, sau đó đổi dấu một trong hai thành phần. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{u} = (5; -2) \] Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((5; -2)\). Đáp án: \((5; -2)\) Câu 1: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 2x - 3y + 1 = 0\), ta cần dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng \(Ax + By + C = 0\). Trong phương trình này, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{n} = (A, B)\). Trong trường hợp của đường thẳng \(d: 2x - 3y + 1 = 0\), ta có: - \(A = 2\) - \(B = -3\) Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (2, -3)\). Vậy đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{n} = (2, -3)\). Câu 2: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho dưới dạng tham số \(d: \left\{\begin{array}{l}x=1-2t \\ y=2+3t\end{array}\right.\), ta cần xác định các thành phần của vectơ chỉ phương từ phương trình tham số này. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ x = x_0 + at \] \[ y = y_0 + bt \] Trong đó, \( (x_0, y_0) \) là tọa độ một điểm trên đường thẳng và \( (a, b) \) là các thành phần của vectơ chỉ phương. So sánh với phương trình đã cho: \[ x = 1 - 2t \] \[ y = 2 + 3t \] Ta thấy rằng: - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 2 \) - \( a = -2 \) - \( b = 3 \) Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \( \overrightarrow{u} = (-2, 3) \). Bây giờ, ta kiểm tra các đáp án đã cho: A. \( \overrightarrow{a} = (2, 3) \) B. \( \overrightarrow{b} = (3, 2) \) C. \( \overrightarrow{c} = (3, -2) \) D. \( \overrightarrow{d} = (2, -3) \) Trong các đáp án trên, chỉ có \( \overrightarrow{d} = (2, -3) \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) vì nó là bội của \( \overrightarrow{u} = (-2, 3) \): \[ \overrightarrow{d} = -1 \cdot \overrightarrow{u} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \overrightarrow{d} = (2, -3) \) Câu 3: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ có phương trình $2x - y + 5 = 0$, ta làm như sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng: Phương trình của đường thẳng $(d)$ là $2x - y + 5 = 0$. 2. Tìm vectơ chỉ phương: Vectơ chỉ phương của đường thẳng có dạng $(a, b)$, trong đó $a$ và $b$ là các hệ số của $x$ và $y$ trong phương trình đường thẳng. Từ phương trình $2x - y + 5 = 0$, ta thấy hệ số của $x$ là 2 và hệ số của $y$ là -1. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là $(2, -1)$. 3. Kiểm tra đáp án: Các lựa chọn đã cho là: - A. $(1, -2)$ - B. $(2, 1)$ - C. $(2, -1)$ - D. $(1, 2)$ Trong các lựa chọn này, vectơ $(2, -1)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$. Vậy đáp án đúng là: C. $(2, -1)$ Câu 4: Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 3x - 7y - 1 = 0\), ta cần xác định vectơ pháp tuyến từ phương trình của đường thẳng. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(Ax + By + C = 0\), trong đó \(A = 3\), \(B = -7\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \(\overrightarrow{n} = (A, B)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{n} = (3, -7) \] Vậy đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{n} = (3, -7)\). Câu 5: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: y = -3x + 5\), ta cần xác định hệ số góc của đường thẳng này. Hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(-3\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \((a; b)\) sao cho tích vô hướng giữa vectơ này và vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) bằng 0. Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((1; -3)\). Ta cần tìm vectơ pháp tuyến \((a; b)\) sao cho: \[ a \cdot 1 + b \cdot (-3) = 0 \] \[ a - 3b = 0 \] Từ đây, ta thấy rằng \(a = 3b\). Do đó, một vectơ pháp tuyến có thể là \((3; 1)\). Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{n} = (3; 1)$ Câu 6: Để xác định vectơ nào không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 4x + 5y - 4 = 0\), ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có thoả mãn điều kiện là vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay không. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow{n} = (a, b)\). Trong trường hợp này, đường thẳng \(d\) có dạng \(4x + 5y - 4 = 0\), nên vectơ pháp tuyến của nó là \(\overrightarrow{n} = (4, 5)\). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng vectơ: A. \(\overrightarrow{n_1} = (4, 5)\) - Đây chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow{n_1}\) là vectơ pháp tuyến. B. \(\overrightarrow{n_2} = (-8, -10)\) - Ta thấy rằng \((-8, -10) = -2 \times (4, 5)\), tức là \(\overrightarrow{n_2}\) là bội của \((4, 5)\), do đó \(\overrightarrow{n_2}\) cũng là vectơ pháp tuyến. C. \(\overrightarrow{n_3} = (4, -5)\) - Ta thấy rằng \((4, -5)\) không phải là bội của \((4, 5)\), do đó \(\overrightarrow{n_3}\) không phải là vectơ pháp tuyến. D. \(\overrightarrow{n_4} = \left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right)\) - Ta thấy rằng \(\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3} \times (4, 5)\), tức là \(\overrightarrow{n_4}\) là bội của \((4, 5)\), do đó \(\overrightarrow{n_4}\) cũng là vectơ pháp tuyến. Vậy, vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: C. \(\overrightarrow{n_3} = (4, -5)\) Đáp án: C. \(\overrightarrow{n_3} = (4, -5)\) Câu 7: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ AB: Vectơ AB được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của vectơ AB: Một vectơ pháp tuyến của vectơ AB là vectơ vuông góc với vectơ AB. Ta biết rằng nếu hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0. Do đó, vectơ pháp tuyến của vectơ AB có thể là: \[ \overrightarrow{n} = (-2, 1) \quad \text{hoặc} \quad \overrightarrow{n} = (2, -1) \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, vectơ pháp tuyến của vectơ AB là: \[ \overrightarrow{n} = (1, -2) \quad \text{hoặc} \quad \overrightarrow{n} = (-1, 2) \] 3. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: $\overrightarrow{n} = (1, -2)$ - Đáp án B: $\overrightarrow{n} = (2, 1)$ - Đáp án C: $\overrightarrow{n} = (-1, 2)$ - Đáp án D: $\overrightarrow{n} = (1, 2)$ Trong các đáp án này, chỉ có đáp án C là vectơ pháp tuyến của vectơ AB. Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n} = (-1, 2)$ Câu 8: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ AB và AC: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (1 - (-1); -3 - (-1)) = (2; -2)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - (-1); 4 - (-1)) = (3; 5)$ 2. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC: - Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC sẽ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{AC}$. - Nếu $\overrightarrow{n} = (a; b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC thì $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. - Ta có: $(a; b) \cdot (3; 5) = 0 \Rightarrow 3a + 5b = 0$ - Chọn $a = 5$, ta có $3 \times 5 + 5b = 0 \Rightarrow 15 + 5b = 0 \Rightarrow b = -3$. - Vậy vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC là $\overrightarrow{n} = (5; -3)$. 3. Tìm vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ B: - Đường cao kẻ từ B vuông góc với đường thẳng AC, do đó vectơ pháp tuyến của đường cao này chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC. - Vậy vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ B là $\overrightarrow{n} = (5; -3)$. 4. Kiểm tra đáp án: - Đáp án đúng là D. $\overrightarrow{n} = (-5; 3)$, vì vectơ pháp tuyến có thể là bội của nhau, nên $(-5; 3)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ B. Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (-5; 3)$. Câu 9: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: x - 2y + 2025 = 0\), ta cần xác định vectơ pháp tuyến từ phương trình của đường thẳng này. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(Ax + By + C = 0\), trong đó \(A = 1\), \(B = -2\). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \((A, B)\), tức là \((1, -2)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (1, -2)\). Trong các lựa chọn đã cho: A. \(\overrightarrow{n}_1 = (0, -2)\) B. \(\overrightarrow{n}_3 = (-2, 0)\) C. \(\overrightarrow{n}_4 = (2, 1)\) D. \(\overrightarrow{n}_2 = (1, -2)\) Chúng ta thấy rằng vectơ \(\overrightarrow{n}_2 = (1, -2)\) chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là: D. \(\overrightarrow{n}_2 = (1, -2)\). Câu 10: Để xác định giá trị của \( t \) sao cho điểm \( A \left( \frac{7}{2}, -2 \right) \) nằm trên đường thẳng \( (d) \), ta sẽ thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình tham số của đường thẳng \( (d) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( (d) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t \\ y = -1 + 2t \end{array} \right. \] Thay tọa độ của điểm \( A \left( \frac{7}{2}, -2 \right) \) vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{7}{2} = 2 - 3t \\ -2 = -1 + 2t \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ -2 = -1 + 2t \\ -2 + 1 = 2t \\ -1 = 2t \\ t = -\frac{1}{2} \] Kiểm tra lại bằng phương trình thứ nhất: \[ \frac{7}{2} = 2 - 3t \\ \frac{7}{2} = 2 - 3 \left( -\frac{1}{2} \right) \\ \frac{7}{2} = 2 + \frac{3}{2} \\ \frac{7}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} \\ \frac{7}{2} = \frac{7}{2} \] Cả hai phương trình đều đúng khi \( t = -\frac{1}{2} \). Vậy giá trị của \( t \) sao cho điểm \( A \left( \frac{7}{2}, -2 \right) \) nằm trên đường thẳng \( (d) \) là: \[ t = -\frac{1}{2} \]