giải câu 4 trong ảnh

Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 2. Xác định bán kính của vùng quan sát trên mặt phẳng (P). Bước 1: Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Gọi $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có: \[\vec{n} = (12, -3, -4)\] Gọi $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt phẳng (P). Ta có: \[\vec{u} = (0, 0, 1)\] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta có: \[cos(\theta) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|}\] \[cos(\theta) = \frac{(12, -3, -4) \cdot (0, 0, 1)}{\sqrt{12^2 + (-3)^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}\] \[cos(\theta) = \frac{-4}{\sqrt{169}}\] \[cos(\theta) = -\frac{4}{13}\] Bước 2: Xác định bán kính của vùng quan sát trên mặt phẳng (P). Gọi R là bán kính của vùng quan sát trên mặt phẳng (P). Ta có: \[R = d \cdot tan(\frac{\alpha}{2})\] Trong đó, d là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P), và $\alpha$ là góc quan sát ngang của camera. Ta tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P): \[d = \frac{|12 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 39|}{\sqrt{12^2 + (-3)^2 + (-4)^2}}\] \[d = \frac{39}{13}\] \[d = 3\] Ta tính bán kính R: \[R = 3 \cdot tan(\frac{116^0}{2})\] \[R = 3 \cdot tan(58^0)\] \[R \approx 3 \cdot 1.6003\] \[R \approx 4.8009\] Vậy bán kính của vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là khoảng 4.80 (làm tròn đến hàng phần trăm).