Câu 21: biết tích phân từ 1 đến 2 của f(x) dx bằng 6 thì tích phân từ 0 đến 1 của giá trị tuyệt đối từ 1 phần 3 f(x) +2x dx bằng apha ln 2+b ln3 với a, b thuộc R. Tính a bình phương +b ngũ 3

Question

van-anhpham17 · Accepted Answer

$$
\int_0^1 \left| \frac{1}{3} f(x) + 2x \right| \, dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{3} f(x) + 2x \right) \, dx = \frac{1}{3} \int_0^1 f(x) \, dx + \int_0^1 2x \, dx
$$
$$
\int_0^1 f(x) \, dx = \int_1^2 f(x) \, dx = 6
$$
$$
\int_0^1 2x \, dx = 1
$$
$$
\int_0^1 \left| \frac{1}{3} f(x) + 2x \right| \, dx = \frac{1}{3} \cdot 6 + 1 = 3
$$

Timi · Answer

Câu 21:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tích phân từ 1 đến 2 của f(x) dx:
   $$
   \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6
   $$

2. Tìm tích phân từ 0 đến 1 của giá trị tuyệt đối từ $\frac{1}{3} f(x) + 2x$:
   $$
   \int_{0}^{1} \left| \frac{1}{3} f(x) + 2x \right| \, dx
   $$

3. Giả sử $\frac{1}{3} f(x) + 2x$ luôn dương trên đoạn [0, 1]:
   $$
   \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{3} f(x) + 2x \right) \, dx
   $$

4. Tách tích phân thành hai phần:
   $$
   \int_{0}^{1} \frac{1}{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} 2x \, dx
   $$

5. Tính từng phần riêng lẻ:
   - Tích phân thứ nhất:
     $$
     \int_{0}^{1} \frac{1}{3} f(x) \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f(x) \, dx
     $$
     Vì $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6$, ta có thể suy ra $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ bằng cách sử dụng tính chất của tích phân:
     $$
     \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx
     $$
     Giả sử $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = I$, ta có:
     $$
     I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + 6
     $$
     Do đó:
     $$
     \int_{0}^{1} f(x) \, dx = I - 6
     $$
     Thay vào:
     $$
     \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3} (I - 6)
     $$

- Tích phân thứ hai:
     $$
     \int_{0}^{1} 2x \, dx = 2 \int_{0}^{1} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = 1
     $$

6. Gộp lại:
   $$
   \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{3} f(x) + 2x \right) \, dx = \frac{1}{3} (I - 6) + 1
   $$

7. So sánh với dạng đã cho:
   $$
   \frac{1}{3} (I - 6) + 1 = a \ln 2 + b \ln 3
   $$

8. Tìm $a$ và $b$:
   Giả sử $I = 9$:
   $$
   \frac{1}{3} (9 - 6) + 1 = 1 + 1 = 2
   $$
   Do đó:
   $$
   2 = a \ln 2 + b \ln 3
   $$

9. Tìm $a$ và $b$:
   Ta có:
   $$
   a = 1, \quad b = 0
   $$

10. Tính $a^2 + b^3$:
    $$
    a^2 + b^3 = 1^2 + 0^3 = 1
    $$

Vậy đáp án cuối cùng là:
$$
\boxed{1}
$$