oooooollllllllll

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp sắp xếp các phần tử trong tổ hợp. Bước 1: Xác định số cách chọn 4 người từ 6 người. - Số cách chọn 4 người từ 6 người là: \[ \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Bước 2: Xác định số cách sắp xếp 4 người đã chọn vào 4 chỗ. - Số cách sắp xếp 4 người vào 4 chỗ là: \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Bước 3: Tính tổng số cách xếp khác nhau. - Tổng số cách xếp khác nhau là: \[ 15 \times 24 = 360 \] Vậy đáp án đúng là D. 360. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp sắp xếp các bông hoa vào các lọ hoa theo thứ tự. Bước 1: Chọn bông hoa đầu tiên để cắm vào lọ hoa đầu tiên. Có 7 lựa chọn khác nhau. Bước 2: Sau khi đã chọn một bông hoa cho lọ hoa đầu tiên, chúng ta còn lại 6 bông hoa để chọn cho lọ hoa thứ hai. Có 6 lựa chọn khác nhau. Bước 3: Cuối cùng, chúng ta còn lại 5 bông hoa để chọn cho lọ hoa cuối cùng. Có 5 lựa chọn khác nhau. Do đó, tổng số cách cắm ba bông hoa vào ba lọ hoa là: \[ 7 \times 6 \times 5 = 210 \] Vậy đáp án đúng là C. 210. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp sắp xếp các bông hoa vào các lọ theo thứ tự. Bước 1: Chọn 1 trong 5 lọ để cắm bông hoa đầu tiên. Có 5 cách chọn. Bước 2: Sau khi đã chọn 1 lọ cho bông hoa đầu tiên, còn lại 4 lọ để chọn cho bông hoa thứ hai. Có 4 cách chọn. Bước 3: Sau khi đã chọn 2 lọ cho 2 bông hoa đầu tiên, còn lại 3 lọ để chọn cho bông hoa thứ ba. Có 3 cách chọn. Tổng số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \] Vậy đáp án đúng là: A. 60. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau. Đây là bài toán về hoán vị. Bước 1: Chọn 4 bóng đèn từ 6 bóng đèn khác nhau. - Số cách chọn 4 bóng đèn từ 6 bóng đèn là \( \binom{6}{4} \). Bước 2: Sắp xếp 4 bóng đèn đã chọn theo thứ tự. - Số cách sắp xếp 4 bóng đèn là \( 4! \). Ta có: \[ \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Số cách sắp xếp 4 bóng đèn là: \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Vậy tổng số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn từ 6 bóng đèn khác nhau là: \[ 15 \times 24 = 360 \] Đáp án đúng là: B. 360. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp. Cụ thể, chúng ta cần tính số cách chọn 3 người từ 7 người mà không quan tâm đến thứ tự. Bước 1: Xác định số cách chọn 3 người từ 7 người. - Số cách chọn 3 người từ 7 người là một bài toán tổ hợp, được tính bằng công thức: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] trong đó \( n \) là tổng số người, \( k \) là số người cần chọn. Bước 2: Áp dụng công thức vào bài toán. - Ở đây, \( n = 7 \) và \( k = 3 \). Ta có: \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \] Bước 3: Tính giai thừa. - \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) - \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) - \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) Bước 4: Thay giai thừa vào công thức. \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 7 \times 5 = 35 \] Vậy, số cách chọn 3 người từ 7 người là 35. Đáp án đúng là: D. 35. Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp. Bước 1: Xác định tổng số người tham dự cuộc thi. - Số người tham dự cuộc thi là 15 người. Bước 2: Xác định số người cần chọn. - Chúng ta cần chọn 4 người có điểm cao nhất. Bước 3: Áp dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn 4 người từ 15 người. - Công thức tổ hợp: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Ở đây, \( n = 15 \) và \( k = 4 \). Bước 4: Tính toán. \[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} \] Bước 5: Rút gọn và tính toán. \[ C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{32760}{24} = 1365 \] Vậy, số kết quả có thể xảy ra khi chọn 4 người có điểm cao nhất từ 15 người là 1365. Đáp án đúng là: D. 1365. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp. Bước 1: Xác định tổng số viên bi trong hộp. - Hộp có 5 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu vàng. - Tổng số viên bi là: 5 + 7 = 12 viên bi. Bước 2: Xác định số cách lấy ra 6 viên bi từ 12 viên bi. - Số cách lấy ra 6 viên bi từ 12 viên bi là tổ hợp chập 6 của 12, ký hiệu là \( C_{12}^6 \). Bước 3: Tính giá trị của \( C_{12}^6 \). - Công thức tính tổ hợp chập k của n là: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Áp dụng công thức: \[ C_{12}^6 = \frac{12!}{6! \cdot 6!} \] Bước 4: Tính giai thừa. - \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) - \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \) Bước 5: Thay giai thừa vào công thức. \[ C_{12}^6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{720} \] Bước 6: Tính kết quả. \[ C_{12}^6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{720} = 924 \] Vậy số cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ từ hộp là 924. Đáp án đúng là: B. 924. Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tổ hợp. Cụ thể, chúng ta cần tìm số cách chọn 2 con bài từ 52 con bài. Số cách chọn 2 con bài từ 52 con bài được tính bằng công thức tổ hợp: \[ C_{52}^2 = \frac{52!}{2!(52-2)!} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326 \] Vậy có 1326 cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con bài. Đáp án đúng là: C. 1326. Câu 12: Để xác định đa thức \( P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \) là khai triển của nhị thức nào, ta sẽ kiểm tra từng đáp án. A. \( (1 - 2x)^5 \) B. \( (1 + 2x)^5 \) C. \( (2x - 1)^5 \) D. \( (x - 1)^5 \) Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton \( (a + b)^n \): \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó, \( \binom{n}{k} \) là hệ số nhị thức. Kiểm tra từng đáp án: Đáp án A: \( (1 - 2x)^5 \) Áp dụng công thức khai triển: \[ (1 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 1^{5-k} (-2x)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi \( k = 0 \): \( \binom{5}{0} 1^{5-0} (-2x)^0 = 1 \) - Khi \( k = 1 \): \( \binom{5}{1} 1^{5-1} (-2x)^1 = 5 \cdot (-2x) = -10x \) - Khi \( k = 2 \): \( \binom{5}{2} 1^{5-2} (-2x)^2 = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2 \) - Khi \( k = 3 \): \( \binom{5}{3} 1^{5-3} (-2x)^3 = 10 \cdot (-8x^3) = -80x^3 \) - Khi \( k = 4 \): \( \binom{5}{4} 1^{5-4} (-2x)^4 = 5 \cdot 16x^4 = 80x^4 \) - Khi \( k = 5 \): \( \binom{5}{5} 1^{5-5} (-2x)^5 = 1 \cdot (-32x^5) = -32x^5 \) Gộp lại ta có: \[ (1 - 2x)^5 = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5 \] Điều này không khớp với đa thức \( P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \). Đáp án B: \( (1 + 2x)^5 \) Áp dụng công thức khai triển: \[ (1 + 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 1^{5-k} (2x)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi \( k = 0 \): \( \binom{5}{0} 1^{5-0} (2x)^0 = 1 \) - Khi \( k = 1 \): \( \binom{5}{1} 1^{5-1} (2x)^1 = 5 \cdot 2x = 10x \) - Khi \( k = 2 \): \( \binom{5}{2} 1^{5-2} (2x)^2 = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2 \) - Khi \( k = 3 \): \( \binom{5}{3} 1^{5-3} (2x)^3 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 \) - Khi \( k = 4 \): \( \binom{5}{4} 1^{5-4} (2x)^4 = 5 \cdot 16x^4 = 80x^4 \) - Khi \( k = 5 \): \( \binom{5}{5} 1^{5-5} (2x)^5 = 1 \cdot 32x^5 = 32x^5 \) Gộp lại ta có: \[ (1 + 2x)^5 = 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5 \] Điều này không khớp với đa thức \( P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \). Đáp án C: \( (2x - 1)^5 \) Áp dụng công thức khai triển: \[ (2x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-1)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi \( k = 0 \): \( \binom{5}{0} (2x)^{5-0} (-1)^0 = 32x^5 \) - Khi \( k = 1 \): \( \binom{5}{1} (2x)^{5-1} (-1)^1 = 5 \cdot 16x^4 \cdot (-1) = -80x^4 \) - Khi \( k = 2 \): \( \binom{5}{2} (2x)^{5-2} (-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3 \) - Khi \( k = 3 \): \( \binom{5}{3} (2x)^{5-3} (-1)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-1) = -40x^2 \) - Khi \( k = 4 \): \( \binom{5}{4} (2x)^{5-4} (-1)^4 = 5 \cdot 2x \cdot 1 = 10x \) - Khi \( k = 5 \): \( \binom{5}{5} (2x)^{5-5} (-1)^5 = 1 \cdot (-1) = -1 \) Gộp lại ta có: \[ (2x - 1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \] Điều này khớp với đa thức \( P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \). Đáp án D: \( (x - 1)^5 \) Áp dụng công thức khai triển: \[ (x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} (-1)^k \] Tính từng hạng tử: - Khi \( k = 0 \): \( \binom{5}{0} x^{5-0} (-1)^0 = x^5 \) - Khi \( k = 1 \): \( \binom{5}{1} x^{5-1} (-1)^1 = 5 \cdot x^4 \cdot (-1) = -5x^4 \) - Khi \( k = 2 \): \( \binom{5}{2} x^{5-2} (-1)^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 1 = 10x^3 \) - Khi \( k = 3 \): \( \binom{5}{3} x^{5-3} (-1)^3 = 10 \cdot x^2 \cdot (-1) = -10x^2 \) - Khi \( k = 4 \): \( \binom{5}{4} x^{5-4} (-1)^4 = 5 \cdot x \cdot 1 = 5x \) - Khi \( k = 5 \): \( \binom{5}{5} x^{5-5} (-1)^5 = 1 \cdot (-1) = -1 \) Gộp lại ta có: \[ (x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 \] Điều này không khớp với đa thức \( P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \). Kết luận: Đa thức \( P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \) là khai triển của nhị thức \( (2x - 1)^5 \). Đáp án đúng là: C. \( (2x - 1)^5 \). Câu 13: Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton để khai triển $(x - \frac{1}{x})^{13}$ và tìm số hạng chứa $x^7$. Theo công thức nhị thức Newton, số hạng thứ $k+1$ trong khai triển $(a + b)^n$ là: \[ T_{k+1} = C^n_k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \] Trong bài này, $a = x$, $b = -\frac{1}{x}$, và $n = 13$. Ta cần tìm số hạng chứa $x^7$. Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển $(x - \frac{1}{x})^{13}$ là: \[ T_{k+1} = C^{13}_k \cdot x^{13-k} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^k \] \[ T_{k+1} = C^{13}_k \cdot x^{13-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{-k} \] \[ T_{k+1} = C^{13}_k \cdot (-1)^k \cdot x^{13-2k} \] Để số hạng này chứa $x^7$, ta cần: \[ 13 - 2k = 7 \] Giải phương trình này: \[ 13 - 2k = 7 \] \[ 13 - 7 = 2k \] \[ 6 = 2k \] \[ k = 3 \] Vậy số hạng chứa $x^7$ là số hạng thứ $k+1 = 3+1 = 4$ trong khai triển. Thay $k = 3$ vào công thức số hạng: \[ T_4 = C^{13}_3 \cdot (-1)^3 \cdot x^{13-2 \cdot 3} \] \[ T_4 = C^{13}_3 \cdot (-1) \cdot x^7 \] \[ T_4 = -C^{13}_3 \cdot x^7 \] Vậy số hạng chứa $x^7$ trong khai triển $(x - \frac{1}{x})^{13}$ là $-C^{13}_3 \cdot x^7$. Đáp án đúng là: C. $-C^{13}_3 \cdot x^7$.