giúp mình với 1......b - - ........ ....,2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+1=0(1)$,nghiệm phân biệt ( với m là tham số) có 2,$x_1,x_2$ sao cho $x^2_1=4x_2.$,Bài 3 110 điim) u:: L:::......................................................................................................

Question

giúp mình với 1......b    - -  ........     ....,2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $x^2-2(m+1)x+2m+1=0(1)$,nghiệm phân biệt ( với m là tham số) có 2,$x_1,x_2$ sao cho $x^2_1=4x_2.$,Bài 3  110 điim)  u:: L:::......................................................................................................

Accepted Answer

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện:
$$ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4(2m+1) > 0 $$
$$ 4(m+1)^2 - 4(2m+1) > 0 $$
$$ 4(m^2 + 2m + 1) - 4(2m + 1) > 0 $$
$$ 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 4 > 0 $$
$$ 4m^2 > 0 $$
$$ m^2 > 0 $$
$$ m \neq 0 $$

Theo bài toán, ta có $x_1^2 = 4x_2$. Ta sẽ sử dụng định lý Vi-et:
$$ x_1 + x_2 = 2(m+1) $$
$$ x_1 x_2 = 2m + 1 $$

Từ $x_1^2 = 4x_2$, ta có:
$$ x_1^2 = 4x_2 $$
$$ x_1^2 = 4 \left( \frac{2m + 1}{x_1} \right) $$
$$ x_1^3 = 4(2m + 1) $$
$$ x_1^3 = 8m + 4 $$

Bây giờ, ta thay $x_2 = \frac{2m + 1}{x_1}$ vào phương trình $x_1 + x_2 = 2(m+1)$:
$$ x_1 + \frac{2m + 1}{x_1} = 2(m + 1) $$
$$ x_1^2 + 2m + 1 = 2(m + 1)x_1 $$
$$ x_1^2 + 2m + 1 = 2mx_1 + 2x_1 $$
$$ x_1^2 - 2mx_1 - 2x_1 + 2m + 1 = 0 $$
$$ x_1^2 - 2(m + 1)x_1 + 2m + 1 = 0 $$

Ta đã có phương trình này từ ban đầu, nên ta cần kiểm tra lại các giá trị $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x_1^2 = 4x_2$.

Giả sử $x_1 = 2k$, ta có:
$$ (2k)^2 = 4x_2 $$
$$ 4k^2 = 4x_2 $$
$$ x_2 = k^2 $$

Thay vào $x_1 + x_2 = 2(m + 1)$:
$$ 2k + k^2 = 2(m + 1) $$
$$ k^2 + 2k = 2m + 2 $$
$$ k^2 + 2k - 2m - 2 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai này theo $k$:
$$ k = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8m + 8}}{2} $$
$$ k = \frac{-2 \pm \sqrt{8m + 12}}{2} $$
$$ k = -1 \pm \sqrt{2m + 3} $$

Do $k$ phải là số thực, ta có:
$$ 2m + 3 \geq 0 $$
$$ m \geq -\frac{3}{2} $$

Vậy, các giá trị của $m$ để phương trình $x^2 - 2(m+1)x + 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ sao cho $x_1^2 = 4x_2$ là:
$$ m \neq 0 \text{ và } m \geq -\frac{3}{2} $$

Đáp số: $ m \neq 0 \text{ và } m \geq -\frac{3}{2} $