Giúp mình với

Câu 2. Để tìm năm mà dân số ở địa phương đó đạt gấp đôi dân số năm 2023, ta sử dụng công thức ước tính dân số $S = A \cdot e^{r \cdot t}$, trong đó: - $A$ là dân số của năm 2023, - $S$ là dân số sau $t$ năm, - $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm, - $t$ là thời gian tính từ năm 2023. Theo đề bài, ta cần tìm thời gian $t$ sao cho dân số gấp đôi dân số năm 2023, tức là $S = 2A$. Thay vào công thức, ta có: \[ 2A = A \cdot e^{r \cdot t} \] Chia cả hai vế cho $A$, ta được: \[ 2 = e^{r \cdot t} \] Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ \ln(2) = \ln(e^{r \cdot t}) \] Áp dụng tính chất của logarit $\ln(e^x) = x$, ta có: \[ \ln(2) = r \cdot t \] Biết rằng $r = 1,13\% = 0,0113$, thay vào ta có: \[ \ln(2) = 0,0113 \cdot t \] Giải ra $t$: \[ t = \frac{\ln(2)}{0,0113} \] Tính giá trị của $\ln(2)$: \[ \ln(2) \approx 0,6931 \] Do đó: \[ t = \frac{0,6931}{0,0113} \approx 61,336 \] Vậy sau khoảng 61,336 năm, dân số sẽ gấp đôi. Ta làm tròn lên để đảm bảo dân số đạt gấp đôi, tức là sau 62 năm. Vậy đến năm 2023 + 62 = 2085, dân số ở địa phương đó sẽ đạt gấp đôi dân số năm 2023. Đáp số: Năm 2085. Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC trong tứ diện S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác ABC: Ta có: - \(SA = 3a\) - \(SB = a\) - \(SC = 2a\) Vì \(SA, SB, SC\) vuông góc với nhau từng đôi một, nên ta có thể tính diện tích tam giác \(SAB\), \(SAC\), và \(SBC\) dễ dàng. Diện tích tam giác \(SAB\): \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times SB = \frac{1}{2} \times 3a \times a = \frac{3a^2}{2} \] Diện tích tam giác \(SAC\): \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times SC = \frac{1}{2} \times 3a \times 2a = 3a^2 \] Diện tích tam giác \(SBC\): \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times SC = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2 \] Diện tích tam giác \(ABC\) có thể tính bằng công thức Heron hoặc trực tiếp từ diện tích các tam giác con đã biết. Tuy nhiên, ta sẽ tính trực tiếp từ diện tích toàn phần của tứ diện. 2. Tính thể tích tứ diện S.ABC: Thể tích \(V\) của tứ diện \(S.ABC\) là: \[ V = \frac{1}{6} \times SA \times SB \times SC = \frac{1}{6} \times 3a \times a \times 2a = a^3 \] 3. Tính diện tích tam giác ABC: Diện tích tam giác \(ABC\) có thể tính từ thể tích \(V\) và chiều cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(ABC\). Gọi \(h_S\) là chiều cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(ABC\), ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h_S \] \[ a^3 = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h_S \] Mặt khác, ta cũng có thể tính \(h_S\) từ diện tích tam giác \(SAB\), \(SAC\), và \(SBC\): \[ h_S = \sqrt{SA^2 + SB^2 + SC^2} = \sqrt{(3a)^2 + a^2 + (2a)^2} = \sqrt{9a^2 + a^2 + 4a^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14} \] Do đó: \[ a^3 = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times a\sqrt{14} \] \[ S_{ABC} = \frac{3a^3}{a\sqrt{14}} = \frac{3a^2}{\sqrt{14}} = \frac{3a^2 \sqrt{14}}{14} \] 4. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC: Gọi \(d\) là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\). Ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times d \] Ta cần tính \(BC\): \[ BC = \sqrt{SB^2 + SC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] Do đó: \[ \frac{3a^2 \sqrt{14}}{14} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times d \] \[ d = \frac{2 \times \frac{3a^2 \sqrt{14}}{14}}{a\sqrt{5}} = \frac{3a \sqrt{14}}{7\sqrt{5}} = \frac{3a \sqrt{70}}{35} \] Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\) là: \[ d = \frac{3a \sqrt{70}}{35} \]