có bao số nguyên dương a để : (4×(loga cơ số 2 của x)^2 + (loga cơ số 2 của x -5))×sqrt(7^x -a)=0 có 2 nghiệm phân biệt. tìm a

Question

Accepted Answer

Để phương trình $(4 \times (\log_a x)^2 + (\log_a x - 5)) \times \sqrt{7^x - a} = 0$ có hai nghiệm phân biệt, ta xét từng trường hợp sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - $\log_a x$ có nghĩa khi $x > 0$ và $a > 0$, $a \neq 1$.
   - $\sqrt{7^x - a}$ có nghĩa khi $7^x - a \geq 0 \Rightarrow 7^x \geq a$.

2. Phân tích phương trình:
   Phương trình có dạng tích, do đó ta xét từng nhân tử:
   - $4 \times (\log_a x)^2 + (\log_a x - 5) = 0$
   - $\sqrt{7^x - a} = 0$

3. Xét nhân tử thứ nhất:
   Gọi $t = \log_a x$. Phương trình trở thành:
   $$
   4t^2 + t - 5 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{8} = \frac{-1 \pm 9}{8}
   $$
   Ta có hai nghiệm:
   $$
   t_1 = 1 \quad \text{và} \quad t_2 = -\frac{5}{4}
   $$

Do đó:
   $$
   \log_a x = 1 \Rightarrow x = a
   $$
   $$
   \log_a x = -\frac{5}{4} \Rightarrow x = a^{-\frac{5}{4}}
   $$

4. Xét nhân tử thứ hai:
   $$
   \sqrt{7^x - a} = 0 \Rightarrow 7^x = a
   $$

5. Yêu cầu phương trình có hai nghiệm phân biệt:
   Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:
   - $x = a$ và $x = a^{-\frac{5}{4}}$ phải là hai giá trị khác nhau.
   - $7^x = a$ phải là một nghiệm khác.

6. Kiểm tra điều kiện:
   - $a > 0$, $a \neq 1$
   - $a^{-\frac{5}{4}} > 0$ luôn đúng vì $a > 0$
   - $7^x = a$ phải là một giá trị khác với $a$ và $a^{-\frac{5}{4}}$

7. Tìm giá trị của $a$:
   - $a$ phải là số nguyên dương.
   - $a^{-\frac{5}{4}}$ phải là số thực dương.
   - $7^x = a$ phải là một giá trị khác với $a$ và $a^{-\frac{5}{4}}$.

Do đó, $a$ phải là số nguyên dương sao cho $a^{-\frac{5}{4}}$ là số thực dương và $7^x = a$ là một giá trị khác với $a$ và $a^{-\frac{5}{4}}$.

Suy ra, $a$ có thể là các số nguyên dương từ 1 đến 7 (vì $7^x = a$ phải là số nguyên dương).

Vậy có 7 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Đáp số: Có 7 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.