cho x0,y0 và S=4x²+y² +8/x + 54/y.khi biểu thức S đat giá tri nhỏ nhất thì T=2x+y có giá tri bằng
A.5
B.9
C.7
D.3

Question

cho x>0,y>0 và S=4x²+y² +8/x + 54/y.khi biểu thức S đat giá tri nhỏ nhất thì  T=2x+y có giá tri bằng 
A.5
B.9
C.7
D.3

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ S = 4x^2 + y^2 + \frac{8}{x} + \frac{54}{y} $, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $ (2x, \frac{2}{x}) $ và $ (y, \frac{9}{y}) $:

$$ 4x^2 + \frac{8}{x} = 2(2x^2 + \frac{4}{x}) \geq 2 \cdot 2 \sqrt{2x^2 \cdot \frac{4}{x}} = 2 \cdot 2 \sqrt{8x} = 8 \sqrt{x} $$

$$ y^2 + \frac{54}{y} = y^2 + \frac{9}{y} + \frac{45}{y} \geq 2 \sqrt{y^2 \cdot \frac{9}{y}} + \frac{45}{y} = 2 \sqrt{9y} + \frac{45}{y} = 6 \sqrt{y} + \frac{45}{y} $$

Tổng lại:

$$ S = 4x^2 + y^2 + \frac{8}{x} + \frac{54}{y} \geq 8 \sqrt{x} + 6 \sqrt{y} + \frac{45}{y} $$

Để biểu thức $ S $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần $ 2x = \frac{2}{x} $ và $ y = \frac{9}{y} $.

Giải phương trình $ 2x = \frac{2}{x} $:

$$ 2x^2 = 2 $$
$$ x^2 = 1 $$
$$ x = 1 $$ (vì $ x > 0 $)

Giải phương trình $ y = \frac{9}{y} $:

$$ y^2 = 9 $$
$$ y = 3 $$ (vì $ y > 0 $)

Thay $ x = 1 $ và $ y = 3 $ vào biểu thức $ T = 2x + y $:

$$ T = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$

Vậy giá trị của $ T $ khi biểu thức $ S $ đạt giá trị nhỏ nhất là 5.

Đáp án đúng là: A. 5

cho x>0,y>0 và S=4x²+y² +8/x + 54/y.khi biểu thức S đat giá tri nhỏ nhất thì T=2x+y có giá tri bằng A.5 B.9 C.7 D.3