cho x>0,y>0 và S=4x²+y² +8/x + 54/y.khi biểu thức S đat giá tri nhỏ nhất thì T=2x+y có giá tri bằng A.5 B.9 C.7 D.3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = 4x^2 + y^2 + \frac{8}{x} + \frac{54}{y} \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \( (2x, \frac{2}{x}) \) và \( (y, \frac{9}{y}) \): \[ 4x^2 + \frac{8}{x} = 2(2x^2 + \frac{4}{x}) \geq 2 \cdot 2 \sqrt{2x^2 \cdot \frac{4}{x}} = 2 \cdot 2 \sqrt{8x} = 8 \sqrt{x} \] \[ y^2 + \frac{54}{y} = y^2 + \frac{9}{y} + \frac{45}{y} \geq 2 \sqrt{y^2 \cdot \frac{9}{y}} + \frac{45}{y} = 2 \sqrt{9y} + \frac{45}{y} = 6 \sqrt{y} + \frac{45}{y} \] Tổng lại: \[ S = 4x^2 + y^2 + \frac{8}{x} + \frac{54}{y} \geq 8 \sqrt{x} + 6 \sqrt{y} + \frac{45}{y} \] Để biểu thức \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( 2x = \frac{2}{x} \) và \( y = \frac{9}{y} \). Giải phương trình \( 2x = \frac{2}{x} \): \[ 2x^2 = 2 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \] (vì \( x > 0 \)) Giải phương trình \( y = \frac{9}{y} \): \[ y^2 = 9 \] \[ y = 3 \] (vì \( y > 0 \)) Thay \( x = 1 \) và \( y = 3 \) vào biểu thức \( T = 2x + y \): \[ T = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 \] Vậy giá trị của \( T \) khi biểu thức \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất là 5. Đáp án đúng là: A. 5