Bxbdhsjbsu

Để tìm phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ trung bình cộng của các đỉnh A, B và C: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Thay tọa độ của A, B và C vào: \[ G = \left( \frac{2 + 4 + 0}{3}, \frac{1 - 1 - 3}{3}, \frac{-2 + 1 + 1}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{-3}{3}, \frac{0}{3} \right) = (2, -1, 0) \] Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là vectơ vuông góc với cả hai vectơ AB và AC. Tính vectơ AB và AC: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 2, -1 - 1, 1 + 2) = (2, -2, 3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0 - 2, -3 - 1, 1 + 2) = (-2, -4, 3) \] Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ -2 & -4 & 3 \end{vmatrix} \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}((-2)(3) - (3)(-4)) - \mathbf{j}((2)(3) - (3)(-2)) + \mathbf{k}((2)(-4) - (-2)(-2)) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}( -6 + 12 ) - \mathbf{j}( 6 + 6 ) + \mathbf{k}( -8 - 4 ) \] \[ \overrightarrow{n} = 6\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k} \] \[ \overrightarrow{n} = (6, -12, -12) \] Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d. Đường thẳng d đi qua điểm G và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\). Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[ \frac{x - x_G}{a} = \frac{y - y_G}{b} = \frac{z - z_G}{c} \] Trong đó, \((x_G, y_G, z_G)\) là tọa độ của G và \((a, b, c)\) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\): \[ \frac{x - 2}{6} = \frac{y + 1}{-12} = \frac{z - 0}{-12} \] Vậy phương trình của đường thẳng d là: \[ \frac{x - 2}{6} = \frac{y + 1}{-12} = \frac{z}{-12} \] Câu 41 Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. $\int 2f(x)dx = 2\int f(x)dx$ Mệnh đề này đúng vì tích của một hằng số và một hàm số có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân. B. $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ Mệnh đề này đúng vì tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số. C. $\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$ Mệnh đề này cũng đúng vì tích phân của hiệu hai hàm số bằng hiệu các tích phân của từng hàm số. D. $\int f(x)g(x)dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$ Mệnh đề này sai vì tích phân của tích hai hàm số không bằng tích các tích phân của từng hàm số. Tích phân của tích hai hàm số không có công thức đơn giản như vậy. Do đó, mệnh đề sai là: D. $\int f(x)g(x)dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$. Câu 41 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = 2^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \). Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln(a) \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 2^x \): 1. Xác định \( a = 2 \). 2. Tính \( \ln(2) \). Do đó, nguyên hàm của \( 2^x \) là: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln(2)} + C \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln(2)} + C \) Đáp án: D. \( \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln(2)} + C \) Câu 42 Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một theo yêu cầu của đề bài. Bài 1: Tính $\int^4_2[3f(x)-5g(x)]dx$ Bước 1: Áp dụng tính chất tích phân Theo tính chất tích phân, ta có: \[ \int^4_2 [3f(x) - 5g(x)] dx = 3 \int^4_2 f(x) dx - 5 \int^4_2 g(x) dx \] Bước 2: Thay giá trị tích phân đã biết Ta biết rằng: \[ \int^4_2 f(x) dx = 10 \] và \[ \int^2_4 g(x) dx = -5 \implies \int^4_2 g(x) dx = -(-5) = 5 \] Bước 3: Tính toán Thay vào biểu thức trên, ta có: \[ 3 \int^4_2 f(x) dx - 5 \int^4_2 g(x) dx = 3 \times 10 - 5 \times 5 = 30 - 25 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. I = 5} \] Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 + 2x$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$ Bước 1: Xác định giới hạn tích phân Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 + 2x$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$ được tính bằng tích phân từ $x = -2$ đến $x = -1$ của hàm số $y = x^2 + 2x$. Bước 2: Viết biểu thức tích phân Diện tích S được tính bởi: \[ S = \int^{-1}_{-2} (x^2 + 2x) dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. S = \int^{-1}_{-2} (x^2 + 2x) dx} \] Câu 43 Để tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \sin x \), \( x = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \), và \( y = 0 \) quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = \sin x \) - Giới hạn tích phân từ \( a = 0 \) đến \( b = \frac{\pi}{2} \) Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^2 \, dx \] Do đó, thể tích của vật thể tròn xoay được tính bởi biểu thức: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \] Đáp án: \( V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx \) Câu 44 Để tính tích phân \( I = \int^2_{1} f(x) \, dx \), ta sẽ sử dụng hai tích phân đã cho để tạo ra hệ phương trình. Ta có: \[ \int^2_1 [3f(x) + 2g(x)] \, dx = 1 \] \[ \int^2_1 [2f(x) - g(x)] \, dx = -3 \] Gọi \( A = \int^2_1 f(x) \, dx \) và \( B = \int^2_1 g(x) \, dx \). Thay vào, ta có: \[ 3A + 2B = 1 \quad \text{(1)} \] \[ 2A - B = -3 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này. Nhân phương trình (2) với 2: \[ 4A - 2B = -6 \quad \text{(3)} \] Cộng phương trình (1) và (3): \[ (3A + 2B) + (4A - 2B) = 1 - 6 \] \[ 7A = -5 \] \[ A = -\frac{5}{7} \] Vậy: \[ \int^2_{1} f(x) \, dx = -\frac{5}{7} \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( I = -\frac{5}{7} \) Đáp số: \( I = -\frac{5}{7} \). Câu 45 Để tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(t)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$, ta cần áp dụng công thức tích phân để tính diện tích dưới đồ thị hàm số. Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Khoảng tích phân từ $a$ đến $b$ (với $a < b$). Bước 2: Áp dụng công thức tích phân - Diện tích $S$ của hình phẳng được tính bằng tích phân của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$: \[ S = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \] Lý do: - Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ cho biết diện tích dưới đồ thị hàm số từ $a$ đến $b$. Nếu $f(x)$ âm ở một phần của khoảng này, tích phân sẽ cho kết quả âm, do đó ta cần lấy giá trị tuyệt đối để đảm bảo diện tích luôn dương. Do đó, đáp án đúng là: B. $|\int f(x) \, dx|$ Đáp án: B. $|\int f(x) \, dx|$