giải rõ ràng chi tiết

Câu 9. Để phương trình $x^2 + 4x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, điều kiện cần là: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot m \geq 0 \] \[ 16 - 4m \geq 0 \] \[ m \leq 4 \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = -4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = m \] Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay vào ta được: \[ 10 = (-4)^2 - 2m \] \[ 10 = 16 - 2m \] \[ 2m = 6 \] \[ m = 3 \] Vậy giá trị của \( m \) là 3. Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức Viète và tính chất của phương trình bậc hai. Phương trình $-3x^2 + 5x + 2k = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Theo công thức Viète, ta có: 1. Tổng của hai nghiệm: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{-3} = \frac{5}{3} \] 2. Tích của hai nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2k}{-3} = -\frac{2k}{3} \] Theo đề bài, ta có điều kiện $x_1 - x_2 = 2$. Bây giờ, ta sẽ sử dụng phương pháp bình phương để tìm giá trị của $k$. Ta có: \[ (x_1 - x_2)^2 = 2^2 \] \[ x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = 4 \] Ta cũng biết rằng: \[ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \] Thay vào ta có: \[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \] \[ \frac{25}{9} = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \] Bây giờ, ta sẽ trừ phương trình $(x_1 - x_2)^2 = 4$ từ phương trình $(x_1 + x_2)^2 = \frac{25}{9}$: \[ \frac{25}{9} - 4 = 4x_1x_2 \] \[ \frac{25}{9} - \frac{36}{9} = 4x_1x_2 \] \[ -\frac{11}{9} = 4x_1x_2 \] \[ x_1x_2 = -\frac{11}{36} \] Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1x_2 = -\frac{2k}{3} \] Do đó: \[ -\frac{2k}{3} = -\frac{11}{36} \] \[ 2k = \frac{11}{12} \] \[ k = \frac{11}{24} \] Vậy giá trị của $k$ là $\frac{11}{24}$. Câu 11. a) Ta có: $x^2_1+x^2_2+6x_1x_2=(x_1+x_2)^2+4x_1x_2=9$ Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=5k; x_1x_2=-4$ Thay vào ta có: $(5k)^2+4\times (-4)=9$ $\Rightarrow k=\pm 1$ Phương trình có hai nghiệm khi $\Delta \geq 0$ $\Rightarrow 25k^2+16\geq 0$ (luôn đúng) Vậy $k=\pm 1$ b) Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=\frac{6(k-1)}{k}; x_1x_2=\frac{9(k-3)}{k}$ Thay vào ta có: $\frac{6(k-1)}{k}-\frac{9(k-3)}{k}=0$ $\Rightarrow k=7$ Phương trình có hai nghiệm khi $\Delta \geq 0$ $\Rightarrow 36(k-1)^2-36k(k-3)\geq 0$ $\Rightarrow k\geq 1$ Vậy $k=7$ Câu 12. a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \[ (2m-1)^2+4m > 0 \] \[ 4m^2-4m+1+4m > 0 \] \[ 4m^2+1 > 0 \] Biểu thức $4m^2+1$ luôn luôn dương với mọi giá trị của m, do đó phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \[ x_1+x_2=-(2m-1) \] \[ x_1x_2=-m \] Ta có: \[ A=x^2_1+x^2_2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2 \] \[ A=(2m-1)^2+3m \] \[ A=4m^2-4m+1+3m \] \[ A=4m^2-m+1 \] Ta thấy $A$ là một biểu thức bậc hai theo m, có hệ số cao nhất là 4 (dương), do đó biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng giá trị đỉnh của parabol. \[ m=\frac{-(-1)}{2\times 4}=\frac{1}{8} \] Vậy biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $m=\frac{1}{8}$.