Giúp làm câu 3

Câu 2. Để viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AD\), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng \(AD\): Giả sử tọa độ của điểm \(A\) là \((x_1, y_1, z_1)\) và tọa độ của điểm \(D\) là \((x_2, y_2, z_2)\). Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AD\) sẽ có tọa độ: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AD\) sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ \(AD\). Tọa độ của vectơ \(AD\) là: \[ \overrightarrow{AD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là: \[ \vec{n} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (a, b, c)\) đi qua điểm \(M = (x_0, y_0, z_0)\) có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Thay \(a = x_2 - x_1\), \(b = y_2 - y_1\), \(c = z_2 - z_1\), và \(M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)\) vào phương trình trên, ta được: \[ (x_2 - x_1) \left( x - \frac{x_1 + x_2}{2} \right) + (y_2 - y_1) \left( y - \frac{y_1 + y_2}{2} \right) + (z_2 - z_1) \left( z - \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: Ta có thể nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ các phân số: \[ 2(x_2 - x_1) \left( x - \frac{x_1 + x_2}{2} \right) + 2(y_2 - y_1) \left( y - \frac{y_1 + y_2}{2} \right) + 2(z_2 - z_1) \left( z - \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = 0 \] \[ (x_2 - x_1)(2x - x_1 - x_2) + (y_2 - y_1)(2y - y_1 - y_2) + (z_2 - z_1)(2z - z_1 - z_2) = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AD\) là: \[ (x_2 - x_1)(2x - x_1 - x_2) + (y_2 - y_1)(2y - y_1 - y_2) + (z_2 - z_1)(2z - z_1 - z_2) = 0 \] Câu 3. Để tính độ dài đoạn OH, ta cần xác định tọa độ của điểm H, trực tâm của tam giác ABC. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng AB, AC và BC: - Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(1, 0, 0) và B(0, 2, 0): \[ \frac{x-1}{0-1} = \frac{y-0}{2-0} = \frac{z-0}{0-0} \Rightarrow \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{2} \] Suy ra phương trình tham số: \[ x = 1 - t, \quad y = 2t, \quad z = 0 \] - Đường thẳng AC đi qua hai điểm A(1, 0, 0) và C(0, 0, -3): \[ \frac{x-1}{0-1} = \frac{y-0}{0-0} = \frac{z-0}{-3-0} \Rightarrow \frac{x-1}{-1} = \frac{z}{-3} \] Suy ra phương trình tham số: \[ x = 1 - u, \quad y = 0, \quad z = -3u \] - Đường thẳng BC đi qua hai điểm B(0, 2, 0) và C(0, 0, -3): \[ \frac{x-0}{0-0} = \frac{y-2}{0-2} = \frac{z-0}{-3-0} \Rightarrow \frac{y-2}{-2} = \frac{z}{-3} \] Suy ra phương trình tham số: \[ x = 0, \quad y = 2 - v, \quad z = -3v \] 2. Xác định tọa độ trực tâm H: - Trực tâm H là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác ABC. Ta sẽ tìm giao điểm của đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC, đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC, và đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB. - Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC: \[ \vec{BC} = (0, -2, -3) \] Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC: \[ 0(x-1) - 2(y-0) - 3(z-0) = 0 \Rightarrow -2y - 3z = 0 \Rightarrow 2y + 3z = 0 \] - Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC: \[ \vec{AC} = (-1, 0, -3) \] Phương trình mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AC: \[ -1(x-0) + 0(y-2) - 3(z-0) = 0 \Rightarrow -x - 3z = 0 \Rightarrow x + 3z = 0 \] - Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB: \[ \vec{AB} = (-1, 2, 0) \] Phương trình mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB: \[ -1(x-0) + 2(y-0) + 0(z+3) = 0 \Rightarrow -x + 2y = 0 \Rightarrow x = 2y \] - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2y + 3z = 0 \\ x + 3z = 0 \\ x = 2y \end{cases} \] Thay \(x = 2y\) vào \(x + 3z = 0\): \[ 2y + 3z = 0 \Rightarrow 3z = -2y \Rightarrow z = -\frac{2}{3}y \] Thay \(z = -\frac{2}{3}y\) vào \(2y + 3z = 0\): \[ 2y + 3\left(-\frac{2}{3}y\right) = 0 \Rightarrow 2y - 2y = 0 \Rightarrow 0 = 0 \] Vậy \(y\) có thể là bất kỳ giá trị nào, chọn \(y = 3\), suy ra \(z = -2\), \(x = 6\). - Tọa độ của H là \(H(6, 3, -2)\). 3. Tính độ dài đoạn OH: \[ OH = \sqrt{(6-0)^2 + (3-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \] Vậy độ dài đoạn OH là 7.