trả lời bài toán Bài 2: Cho $\Delta ABC~(AB

Question

trả lời bài toán Bài 2: Cho $\Delta ABC~(AB<AC).$ Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Trên cạnh,AC lấy điểm E sao cho $AB=AE.$ Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB và ED. Chứng,minh rằng: $a)~\Delta ABD=\Delta AED;$ $b)~AC=AF;$,c)Kẻ $BH\bot DF(H\in DF)$ và $EK\bot DC(K\in DC).$ Gọi M là giao điểm của BH và EK ,Chứng minh ba điểm A,D,M thẳng hàng

Accepted Answer

a) Xét $ riangle A B D$ và $ riangle A E D$ có:

$$
\begin{aligned}
& A B=A E( ext { gt }) \
& \widehat{B A D}=\widehat{E A D}(A D ext { là tia phân giác của } \widehat{B A C})
\end{aligned}
$$

$A D$ : chung

$\Rightarrow riangle A B D= riangle A E D( ext { c.g.c) }$

b) $ riangle A B D= riangle A E D$ (cmt)

$\Rightarrow B D=E D ; \widehat{A B D}=\widehat{A E D}$

mà $\widehat{A B D}+\widehat{F B D}=180^{\circ}$ (kề bù)$$
\begin{aligned}
& \widehat{A E D}+\widehat{C E D}=180^0 ext { (kề bù) } \
\Rightarrow & \widehat{F B D}=\widehat{C E D}
\end{aligned}
$$

Xét $ riangle F B D$ và $ riangle C E D$ có:

$$
\begin{aligned}
& \widehat{F B D}=\widehat{C E D} ext { (cmt) } \
& B D=E D ext { (cmt) } \
& \widehat{B D F}=\widehat{C D E} ext { (đối đỉnh) } \
& \Rightarrow riangle F B D= riangle C E D ext { (g.c.g) } \
& \Rightarrow B F=C E \
& ext { mà } A B=A E \Rightarrow A B+B F=A E+E C \Rightarrow A F=A C
\end{aligned}
$$
c) Xét $ riangle B H D$ và $ riangle E K D$ có:

$$
\begin{aligned}
& \widehat{B H D}=\widehat{E K D}=90^0(B H \perp D F ; E K \perp D C) \
& B D=D E(\mathrm{cmt}) \
& \widehat{B D H}=\widehat{E D K} ext { (đối đỉnh) } \
& \Rightarrow riangle B H D= riangle E K D ext { (cạnh huyền-góc nhọn) } \Rightarrow B H=E K ext { (1) }
\end{aligned}
$$

Xét $ riangle H D M$ và $ riangle K D M$ có:

$\widehat{D H M}=\widehat{D K M}=90^0(B H \perp D F ; E K \perp D C)$

DM: chung

$$
\begin{aligned}
& D H=D K ext { (vì } riangle B H D= riangle E K D) \
& \Rightarrow \Delta H D M= riangle K D M ext { (cạnh huyền-cạnh góc vuông) } \
& \Rightarrow H M=K M(2)
\end{aligned}
$$

$ext { Từ (1) (2) } \Rightarrow B H+H M=E K+K M \Rightarrow B M=E M$

Xét $ riangle A B M$ và $ riangle A E M$ có:

$$
\begin{aligned}
& A B=A E ext { (gt) } \
& A M: ext { chung } \
& B M=E M ext { (cmt) } \
& \Rightarrow riangle A B M= riangle A E M ext { (с.с.c) } \
& \Rightarrow \widehat{B A M}=\widehat{E A M}
\end{aligned}
$$

$\Rightarrow A M$ là tia phân giác của $\widehat{B A C}$
mà $A D$ là tia phân giác của $\widehat{B A C}$

$\Rightarrow A, M, D ext { thẳng hàng }$