Cho tam giác ABC ( AB < AC). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. a) Chứng minh rằng : ∆ABD = ∆AED b) gọi k là giao điểm của các đường thẳng AB và ED. chứng...

a) Ta có: - AD là tia phân giác của góc BAC nên góc BAD = góc EAD. - AB = AE (theo đề bài). - AD chung. Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh kẹp giữa hai góc), ta có ∆ABD = ∆AED. b) Ta có: - ∆ABD = ∆AED (chứng minh ở phần a) nên BD = DE và góc ABD = góc AED. - Góc BDK và góc EDC là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau. - Góc BDK = góc EDC (góc đối đỉnh). - Góc DBK = góc DEC (vì góc ABD = góc AED). Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh kẹp giữa hai góc), ta có ∆BDK = ∆EDC. c) Ta có: - ∆ABD = ∆AED (chứng minh ở phần a) nên BK = EC. - ∆BDK = ∆EDC (chứng minh ở phần b) nên DK = DC. Ta cần chứng minh AB + AC > KE. Ta có: - AB + AC = AB + AE + EC (vì AE = AB). - AB + AE = 2AB (vì AE = AB). - Vậy AB + AC = 2AB + EC. Mặt khác, ta có: - KE = KD + DE. - Vì ∆BDK = ∆EDC nên KD = DC và DE = BD. - Vậy KE = DC + BD. Do đó, ta cần chứng minh 2AB + EC > DC + BD. Ta có: - 2AB > AB (vì AB > 0). - EC > 0 (vì EC là đoạn thẳng). Vậy 2AB + EC > AB + 0 = AB. Mặt khác, ta có: - DC + BD = BC (vì D nằm trên BC). Vậy ta cần chứng minh 2AB + EC > BC. Ta có: - AB + AC > BC (theo bất đẳng thức tam giác trong ∆ABC). Vậy 2AB + EC > BC. Do đó, ta đã chứng minh được AB + AC > KE.