giúp tui với

Câu 42. Để tính $\int(x - \sin x) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ của tích phân này. Bước 1: Tính $\int x \, dx$. \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] Bước 2: Tính $\int \sin x \, dx$. \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại. \[ \int (x - \sin x) \, dx = \int x \, dx - \int \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 - (-\cos x + C_2) \] \[ = \frac{x^2}{2} + \cos x + (C_1 - C_2) \] Ta có thể gộp hằng số \(C_1\) và \(C_2\) thành một hằng số tổng quát \(C\): \[ \int (x - \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \cos x + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{2} + \cos x + C$. Câu 43. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( \sin x \). \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int (3x^2 + \sin x) \, dx = x^3 - \cos x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \) là: \[ x^3 - \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( x^3 - \cos x + C \). Câu 44. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \sin x \), chúng ta sẽ tính riêng từng phần của hàm số này. 1. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] Kết hợp hai kết quả trên lại, ta có: \[ \int \left( \frac{1}{x} + \sin x \right) \, dx = \ln |x| - \cos x + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, đáp án đúng là: D. \( \ln |x| - \cos x + C \). Câu 45. Ta có $\int f(x)dx=-\cos x+C$ suy ra $f(x)$ là đạo hàm của $-\cos x+C$. Tính đạo hàm của $-\cos x+C$, ta có: \[ f(x) = \frac{d}{dx}(-\cos x + C) = \sin x \] Vậy khẳng định đúng là: C. $f(x) = \sin x$ Đáp án: C. $f(x) = \sin x$ Câu 46. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp giải. - Chúng ta cần tính tích phân của hàm số $\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}$. Bước 2: Áp dụng công thức tích phân. - Ta biết rằng $\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$. Do đó, tích phân của $\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}$ sẽ là: \[ \int \cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} \, dx = \int \frac{1}{2}\sin x \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. - Tích phân của $\frac{1}{2}\sin x$ là: \[ \int \frac{1}{2}\sin x \, dx = -\frac{1}{2}\cos x + C \] Bước 4: Kết luận. - Vậy khẳng định đúng là: \[ \int \cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} \, dx = -\frac{1}{2}\cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\int \cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2}\cos x + C$ Đáp số: D. $\int \cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2}\cos x + C$ Câu 47. A. Ta có: \[ \int (2 + \cot^2 x) \, dx = \int 2 \, dx + \int \cot^2 x \, dx \] Biết rằng: \[ \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \] Do đó: \[ \int (2 + \cot^2 x) \, dx = \int 2 \, dx + \int (\csc^2 x - 1) \, dx = 2x - \cot x - x + C = x - \cot x + C \] Vậy mệnh đề A đúng. B. Ta có: \[ \int \left(1 - \cos^2 \frac{x}{2}\right) \, dx = \int \left(1 - \frac{1 + \cos x}{2}\right) \, dx = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos x}{2}\right) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos x \, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin x + C \] Vậy mệnh đề B sai vì kết quả đúng là $\frac{1}{2}(x - \sin x) + C$, không phải $\frac{1}{2}(x + \sin x) + C$. C. Ta có: \[ \int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 \, dx = \int \left(\sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right) \, dx \] Sử dụng công thức $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ và $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$: \[ = \int \left(1 + \sin x\right) \, dx = \int dx + \int \sin x \, dx = x - \cos x + C \] Vậy mệnh đề C sai vì kết quả đúng là $x - \cos x + C$, không phải $x + \cos x + C$. D. Ta có: \[ \int \left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2 \, dx = \int \left(\sin^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}\right) \, dx \] Sử dụng công thức $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ và $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$: \[ = \int \left(1 - \sin x\right) \, dx = \int dx - \int \sin x \, dx = x + \cos x + C \] Vậy mệnh đề D đúng. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C sai. - Mệnh đề D đúng.